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Sturmscher Satz. 
Sturmscher Satz. 595 
In der Grössenreihe: 
f{x) = x 6 — 8# s + 9 a; —11 
f t {x) = x s — 4 a; 1 + 1,5 
f t (x) =x 3 —1,875« + 2,75, 
f 3 (x~) = x 2 — 0,52x +0,54 
f*( x ) = x “1.1 
f&)=~ 1 
setzen wir x — — co, berücksichtigen 
also nur das erste Glied. Die Zeichen 
reihe ist dann: 
4 1 
Drei. Zeichenwechsel finden statt. 
Sei dann x = 0,. wird also nur das 
constante Glied berücksichtigt. Die Zei 
chenreihe ist: 
h + 4 
Zwei Zeichenwechsel finden statt. Es 
ist also ein Wechsel verschwunden. 
Die Gleichung hat eine nega 
tive Wurzel. 
Für x= + co ergibt sich die Reihe: 
4- + 4- 4- H— 
Ein Zeichenwechsel. Es verschwindet 
also zwischen 0 und + oo auch ein 
Wechsel, also eine positive Wurzel ist 
vorhanden. 
Da die Gleichung vom sechsten Grade 
ist, so hat sie: eine positive, eine nega 
tive, vier imaginäre Wurzeln. Um die 
beiden ersteren in engere Grenzen einzu- 
schliessen, setzen wir /8 = 1, und erhalten: 
/•(1) = 1 — 8 + 9 — 11 also - 
f+1) = 1 — 4 + 1,5 also - 
1) = 1 - 1,875 + 2,75 also + 
/,(1) = 1-0,52 +0,54 also + 
/*( 1) = 1 — 1,1 also — 
fi{ 1) = — 1 also — 
Es finden zwei Zeichenwechsel statt. 
Zwischen 0 und 1 liegt keine Wurzel. 
Sei jetzt ß = 10. Die Zeichenreihe ist 
wie leicht zu sehen: 
+ 4- 4- + H— 
Also ein Zeichenwechsel. 
Zwischen 1 und 10 geht ein solcher 
verloren. Es gibt also eine Wurzel 
zwischen 1 und 10. 
Sei jetzt « = 5. Die Zeichenreihe 
wird: 
Sei jetzt a = 2. Die Zeichenreihe ist 
dann: 
4“ + + + 4— 
Ein Zeichenwechsel. 
Die Wurzel liegt zwischen 1 und 2. 
Da zwischen 1 und 2 aber nicht allein 
f(x), sondern auch f'(x) sein Zeichen 
ändert, so ist es gerathen, ehe man die 
Newton’sche Näherungsmethode anwen 
det, noch engere Grenzen zu suchen. 
Wir setzen: 
« = 1,5. 
Die Zeichenreihe ist: 
-4-4-4- + - 
Es sind zwei Zeichenwechsel vorhan 
den. Die Wurzel liegt zwischen 1,5 
und 2. 
Wollte man die Newton’sche Methode 
anwenden und setzten wir: 
also: 
ß = 2, x = ß — ff, 
/•(« —d) = 0, 
oder mit Vernachlässigung der höheren 
Potenzen: 
f{a)-<?f'(x) = 0, 
cr=M. 
/'(«) 
/+«)= ««- 8ß 3 +9ß —11 = 7 
T(«) = 6ß s -24a 2 + 9 =105 
so käme: 
also: 
<r===°.°67, 
* = 2 - 0,067 = 1,933 . . . 
Durch Wiederholung dieses Verfahrens 
kann dann x genauer bestimmt werden. 
Was die negative Wurzel anbetrifft, 
so sei a = — 1. 
Dies gibt die Zcichenreihe: 
h 4 
Also zwei Zeichenwechsel, so dass die 
Wurzel zwischen — co und — 1 liegt. 
Sei ß= —10, so ist dieZeichenreihe: 
4 1 
Es sind hier drei Zeichenwechsel, somit 
liegt die Wurzel zwischen —1 uud —10. 
Sei jetzt ß= —2. Die Zeichenreihe 
ist: 
4- H—f- 4—I 
Ein Zeichenwechsel. 
Die Wurzel liegt zwischen 1 und 5. 
+ + 
Drei Zeichenwechsel. Die Wurzel liegt 
zwischen — 1 und — 2.