Sturmscher Satz. 601 Sturmscher Satz. 
Fig. 417. 
C) Den von A gegebenen Raum kön 
nen wir nun auf folgende Weise theilen. 
1) In beliebig kleine Räume, welche 
jede nur einen einer Wurzel der Glei 
chung /’(z) = 0 entsprechenden Punkt 
«d ft 2’ • • • umgeben. Diese Räume 
denken wir uns der Einfachheit wegen 
von Kreisen mit abnehmenden Radien 
begrenzt, deren Mittelpunkte bezüglich 
«i, "n n 3 • • • sind. Es ist dabei zu 
bemerken, dass diesen Punkten einfache 
oder mehrfache Wurzeln entsprechen 
können. 
Da nun ausser diesen Räumen nie in 
demselben Punkte P = Q = 0 sein kann, 
so kann man den übrigen Raum zerlegen. 
2) In Theile ß, wo einschliesslich der 
Begrenzung nie P — 0 ist. 
3) In Theile y, wo einschliesslich der 
Begrenzung nie 0 = 0 ist. 
D) Wir beweisen jetzt den Satz für 
die Räume ce, ß und y einzeln, womit er 
dann allgemein bewiesen ist. 
Immer sei a die Anzahl der Punkte 
der Begrenzung, wo beim positiven Um- 
p 
kreisen P = 0 und — vom Positiven 
zum Negativen übergeht, b wo das Um 
gekehrte stattfinde, <f die im Theilraume 
enthaltene Anzahl der einfachen Wurzeln. 
Für die Räume ß ist offenbar, da P 
nicht gleich Null, « = 6 = 0 und auch 
(I = 0, also jedenfalls a — b = 2d. 
P 
Für die Räume y ist cf = 0. — kann 
auf der Begrenzung nur sein Zeichen 
wechseln, wenn P verschwindet, da Q 
nicht gleich Null wird. Es muss also 
4 P 
erst — etwa vom Positiven zum Nega 
tiven übergehen, indem P verschwindet, 
dann wieder vom Negativen zum Positi 
ven u. s. w. Da man aber eine geschlos 
sene Linie durchschreitet, muss man mit 
P 
demselben Zeichen von zum Anfangs 
punkte zurückkehren, also ebenso oft vom 
Positiven zum Negativen übergegangen 
sein, als umgekehrt. Es ist also a—b, also : 
a — b - 24 = 0. 
Was endlich die Flächenräume anhe- 
trifft, die eine Wurzel enthalten, so möge 
in «eine der Allgemeinheit wegen «fache 
Wurzel stattfinden, dann ist bekanntlich: 
m=/■'(«)=/•"(«)=... =o 
aber f^ n \t von Null verschieden. Man 
verlege nun nach « den Anfangspunkt 
der Coordinaten. Ist dann z = 
ein Punkt der Begrenzung, x', y' die 
demselben entsprechenden auf « bezo 
gene Coordinaten und « =z-f- yi, so ist: 
x = pA-x', y = \+y'. 
Da diese Begrenzung ein Kreis ist 
und « sein Mittelpunkt, so kann man 
setzen: 
x = p-\- r cos 9, 
y = v -j- r sin 
. ,9 i 
a = « + re , 
wo r der Radius, also constant ist. Auf 
der Begrenzung ist also: 
f(z) = /■(« + re** 1 ). 
Entwickelt man nach dem Taylor’schen 
Satz, und berücksichtigt, dass: 
fte) = /■'(«) • . ■ =f (n ~%) = 0 
ist, so erhält man: