Sturmscher Satz. 
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Sturmscher Satz. 
n ndi . . 
№ )=rr^T=!■+<*. 
Wegen des abnehmenden r üben die fol 
genden Glieder keinen Einfluss. Sei 
nun: 
~(n), \ 7* 
r \«)—Qe , 
wo q positiv, t eine beliebige reelle Zahl 
ist, so ist: 
T +*=r.rrrhv i< '‘ 9+0 +• • • 
also 
P = A cos (n.9- -f- r), 
(A = A sin (n9 + 0, 
wo A gleich der constanten Grösse 
n 
r p 
j—2 • gesetzt, die nachfolgenden 
Glieder aber vernachlässigt sind. 
Sei n9-|-T = rf , so wird beim Umkrei 
sen in positiver Richtung der Winkel .9 
von 0 bis 2/t, also // von t bis < 2nn-\-T 
wachsen. Da nun P = A cos </ für 
•j = (2 s -f 1) ~ verschwindet, so wird 
dies zwischen r und 2Tr-f-r zweimal, 
also zwischen t und 2nTz + r 2nmal ge 
schehen. Nun ist: 
P 
Es kommen hierbei die Werthe also 
nur in Betracht, wo zugleich P, d. h. 
cot ff verschwindet und das Zeichen 
wechselt, dies findet ebenfalls für 
</= (2« + l)y 
x — R cos 9, 
у = R sin 9, 
г = Re Si , 
f{z) = f{Re di ). 
Sei nun: 
A \ Я i Th “” 1 i i 
b) = a 0 z + a L z +. . . + a n , 
so kann man sich für die Peripherie 
wegen des wachsenden R aufs erste Glied 
beschränken. Dann ist: 
f(?) = «o R e 
Sei noch 
, 11 
a 0 ~ qe 
so ist wie oben: 
P = qR n cos (n.9 + t) 
Q = qR h sin (n<9 -f- r) 
P 
— = cot (n.9 + r). 
Dann kann man ganz wie oben bewei 
sen, dass 
а = 2 и, b — 0 
ist, also: 
а — b — 2 cf = 2n 
J — n. 
Es befinden sich also in der Ebene 
и Punkte, wo f(z) verschwindet, wenn 
man nämlich eine p fache Wurzel für p 
solcher Punkte rechnet. 
III. Erweiterung des Cauchy- 
sehen Satzes. 
statt, und zwar geht hier jedesmal die 
Cotangente vom Positiven zum Negativen 
über. Also ist: 
also : 
а — 2n, 6 = 0, J' - n, 
а — b — 2 cf, 
womit unser Satz bewiesen ist. 
II. EineAnwendung des Cauchy- 
schen Satzes. 
Aus diesem Satze lässt sich auf die ein 
fachste und directeste Weise darthun, 
dass jede algebraische Gleichung и ten 
Grades f(z) = 0 auch n complexe Wur 
zeln hat. 
Denken wir uns nämlich um den An 
fangspunkt der Coordinaten als Mittel 
punkt einen Kreis mit zunehmendem 
Radius R gezogen, so ist für die Punkte 
der Peripherie: 
Das in Abschnitt I. Gegebene würde 
für die Erweiterung des Sturmschen Satzes 
ausreichen. Indess ist es für andere 
Theile der Analysis wichtig, dem Cauchy- 
sehen Satze die ganze Allgemeinheit zu 
geben, deren er fähig ist. Derselbe ist 
nämlich mit einer leichten Modification 
auch für den Fall gültig, wo f(z) eine 
eindeutige Function ist, welche für end 
liche Werthe für z auch unendlich wer 
den kann. 
Ist dann wieder A eine geschlossene 
Curve, in der f(z) weder verschwindet 
noch unendlich wird, haben a und b die 
obige Bedeutung, ist ferner tf die An 
zahl der innerhalb enthaltenen Punkte, 
wo 
1 
/4») 
f[z) verschwindet, f diejenigen, wo 
verschwindet, also f{z) — со wird, 
so ist: 
а — b — 2 (cT — f).