Sturmscher Satz. 
603 
Sturmscher Satz. 
Wie oben wird eine n fache Wurzel 
der Gleichung f(z) - 0 oder ~ = 0 
fi*) 
für n Punkte gerechnet. 
Der Beweis ist mit einem Zusatze wie 
in I. zu führen. Ausser den Gebieten 
a, ß, y kommen noch solche Gebiete £ 
hinzu, wo —- einmal verschwindet, aber 
/ (2) 
nicht f(z) = 0 wird. Da nämlich für 
P — co oder Q = co auch 
J_=:_J_ == 0 
/•(0 P+Qi 
sein würde, so ist in den Gebieten «, 
ß, y dann das Unendlichwerden von P 
und Q ausgeschlossen, « = 0. also die 
Beweisführung gilt für diese Gebiete noch. 
ln den Gebieten £ ist dagegen (1 = 0, 
die Richtigkeit unseres Satzes würde 
also bedingen, dass a — b = —2n ist, 
wenn —— in diesen Gebieten eine «fache 
A» 
Wurzel hat. 
Dies wird wie oben gezeigt. 
Wir umgeben den Punkt £ wieder mit 
einem Kreise, dessen Radius r abnimmt. 
Es folgt dann wie oben Folgendes: 
Ist 
wenn mit — das Umgekehrte stattfindet, 
und hieraus folgt: 
«j = b, b t — a 
womit unser Satz erwiesen ist. 
Das Uebrige gilt nämlich unverändert. 
— Zu bemerken ist noch, dass f{z) auch 
eine mehrdeutige Function sein kann. 
— Man denkt sich dieselbe dann nach 
Riemanns Betrachtungsweise die Ebene 
mehrfach bedeckend (vergl. den Artikel: 
Quantität, imaginäre) und an den Stellen 
wo Werthe von f(z) gleich werden mit 
Windungspunkten versehen. Dann ist 
f(z>) auf der Windungsfläche in der That 
eine eindeutige Function, und das Ge 
sagte gilt mit der Maassgahe, dass jede 
Begrenzung eine wirklich geschlossene, 
nicht etwa bloss eine in sich zurück 
kehrende sein muss. Wenn daher f(z) 
oder rr-r in einem Windungspunkte ver- 
I ( 2 ) 
schwindet, und dieser von der ^ten Ord 
nung ist, so ist der Grenzkreis um n oder 
£ als ein p mal den Punkt umwindender 
zu betrachten. Sei in dem Punkte « 
etwa f{z) — 0, so ist für die Begrenzung: 
s s 
m~ p ' +Q ‘ i ' 
a l die Anzahl der Punkte, wo P. ver- 
p 
schwindet und — 1 vom Positiven zum 
V l 
Negativen übergeht, b t die derjenigen 
Punkte, wo das Umgekehrte stattfindet, 
so ist ganz nach der obigen Beweisfüh 
rung: 
a, — b j ~ 2 n. 
Nun ist: 
1 
P-Qi 
f{*) P+Qi~P* + Q 3 
also 
p - 
' - P*+Q* ’ 
Q — ~ Q 
G.* 
Pi__f_ 
Gi 0 ’ 
Da auf der Begrenzung nicht P oder 
Pi unendlich werden soll 
P i ~ 0 auch P = 0 und umgekehrt 
so ist für 
L» 
Qi 
ist aber negativ, wenn — positiv, geht 
also vom Negativen zum Positiven über, 
f{z) = f(ce + re’ 9 *) = ar p e P ’ 9 *+ . . ., 
wo s eine ganze Zahl ist die mit p kei 
nen Factor gemein hat (vergl. den obi 
gen Artikel), a eine Constante. 
Ist a = Q + e 7t , so ist dann: 
s s 
P = Q r P COS (t + d-'j = Qf P COS ff 
— = cot {t + = cot ff. 
Es wächst aber wegen der p fachen 
Umwindung & von 0 bis 2pn, also <p 
von r bis 2sti und deshalb ist d = s. 
Die Wurzel ist dann als eine s fache zu 
betrachten. 
(Dies rechtfertigt sich auch folgender- 
maassen. In der That wäre, da das Anfangs 
glied ar n e 1 ^ 1 einer nfachen Wurzel ent 
spricht, jede Wurzel vom Grade —. Da 
V 
aber im Windungspunkt p Wurzeln sich 
vereinen, ist der Grad —. p oder s). 
P 
Es ist vielleicht hier auch am Platze, 
einen weniger elementaren aber directen 
Beweis des allgemeinen Cauchy’schen 
Satzes zu gehen.