ir Satz. 
Sturmscher Satz 605 Substitution. 
¡che Verfahren 
furz ein. 
, wie viel Wurzeln 
,’on A umschlosse- 
sind, nehmen wir 
n-aische Gleichung 
, dann ist also 
kommt darauf an, 
ein. Wir thun dies 
, dass die Curve 
tinurlich gekrümmt 
dien besteht, in web 
s rationale Functio- 
se m gegeben sind, 
hen Theil auch P 
ion von z gegeben, 
iränkt sich dann 
en solchen Theil, 
finden, die Summe 
t dann gleich 2 c)'. 
Begrenzung nichts 
st sich in Bezug 
mmer der obigen 
)ie Ermittlung von 
ganz nach dem 
sei — Oi der Di ‘ 
Q 
( der von — u.s.w., 
VI 
ch auf eine Con- 
nd Q auf der Be- 
eitig verschwinden, 
chaftlichen Factor 
nd ß der Anfangs- 
im Sinne einer po- 
ist a — b gleich 
er Zeichenwechsel 
., Q in ß gegen 
v n 
rken, dass auch Q 
i als P sein kann; 
i der Division von 
st als Best, also 
nz ähnlich wie in 
ort wird dargethan, 
el von Q, Oi 
Was P anbetrifft, 
chzeitig V und ö 
also wenn P = ü 
nd folgende Fälle 
PO P Q 
+ + + — 
?alle geht vom 
ven über, cs wird 
also beim Uebergange von #, a um Eins 
vermehrt, zugleich stellt sich ein Zeichen- 
wechsel ein, so dass in der That das 
Zunehmen der Zeichen Wechsel die Ver 
mehrung von a — b angibt. Im zweiten 
und dritten Falle, geht — vom Negati 
ven zum Positiven über, b wird um Eins 
vermehrt, also a — b um Eins vermin 
dert, zugleich nimmt die Reihe der Zei 
chenwechsel um Eins ab, so dass auch 
hier unser Satz richtig ist. Da nun eine 
Äenderung der Zeibhenreihe nur beim 
Ueberschreiten des Punkts # stattfindet, 
so ist derselbe vollständig bewiesen. 
Will man mittels dieser Betrachtung 
wirklich die imaginären Wurzeln einer 
Gleichung finden, so thut man wohl als 
Begrenzung Rechtecke zu nehmen, deren 
Seiten den Axen parallel sind. Seien 
die Coordinaten der Eckpunkte dessel 
ben bezüglich: 
x — l, y — m x — 1^, y =m, 
x-l x , y = »», X = l, y~ m„ 
wo l < l L , m < m v sein soll. 
Die Begrenzung besteht dann aus vier 
Linien B, BB 2 , B 3 . Sei in jeder 
derselben « der Anfangspunkt, ß der 
Endpunkt. Dann ist: 
Für B\ y = m, in a:x=l, in ß:x = l t 
„ B l : x = l t , in n:y~m, in/?:y = m L 
„ B 2 : y = m i , in a:x = Ii, in ß:x=l 
„ B 3 : x = l, in: er, y = m i , in ß: y = m 1 
so dass auf jeder der vier Linien P und 
Q nur von einer Variable, in B und B 2 
von x, in Bj und B 3 von y abhängig 
sind. 
Sollen sämmtliche Wurzeln einer Glei 
chung ermittelt werden, so thut man gut, 
erst die reellen zu finden nach der in 1) 
gegebenen Methode. Sind diese 
so kann man f{z) durch 
(z- «*)> (s — «,) . . . (* — «p 
dividiren. Man hat dann eine Gleichung 
</ (z'l = 0, die keine reellen Wurzeln, also 
keine auf der Abscissenaxe enthält. Man 
sucht dann zunächst diejenigen, wo in 
t-x+yi, y positiv und dann die, wo 
y negativ ist. Die eine Seite des Recht 
ecks ist dann die Abscissenaxe. 
Im erstem Falle ist zu setzen : 
f = +co, m = 0, /,= -co, wi, = -j-co 
uud im letztem: 
*=+oo, m = 0, /, = —<», m, = — oo 
Dann theilt man den Raum zunächst 
durch Linien der Axe der x parallel, 
und die Räume dieser Art in denen sich 
Wurzeln finden, durch Linien der Axe 
der y parallel. Die Wurzeln müssen in 
hinlänglich enge Grenzen eingeschlossen 
werden, um die Newton’sche Näherungs 
weise an wenden zu können. 
Bei dem allgemeinen Slurmschen Ver 
fahren ist allerdings nicht nöthig, dass 
die gegebene Gleichung nur einfache 
Wurzeln habe. Dennoch wird man na 
türlich wohlthun, vor Anwendung des 
selben die mehrfachen Wurzeln zu er 
mitteln und wegzuschaffen. 
üebrigens lassen sich auch leicht die 
rein imaginären Wurzeln bestimmen. Da 
hier x = 0 ist, so sind es die den beiden 
Gleichungen: 
P(.0,y) = 0, 0 {0,y)=0 
gemeinschaftlichen, also in dem, beiden 
Gleichungen gemeinschaftlichen, Factor 
enthalten. Nach deren Entfernung kann 
man vier Räume nehmen, die bezüglich 
positiven x und y, positivem x und ne 
gativem y, positivem y und negativem 
x, negativem x und y entsprechen. 
Subnormale (Geometrie). 
Der Theil der Abscissenaxe, welcher 
von der Normale und Ordinate eines ge 
gebenen Punktes einer Curve abgeschnit 
ten wird. Der Ausdruck für die Sub 
normale ist: 
du 
S n=y/x- 
Substitution (Algebra und Analysis). 
Die Einführung eines neuen Werthes 
für eine veränderliche Grösse. 
Substitution, lineare (Algebra). 
Eji n 1 e i t u n g. 
Die Theorie der linearen Substitution 
umfasst die Betrachtung derjenigen Aus 
drücke, welche entstehen, wenn man in 
einen algebraischen Ausdruck vom be 
liebigen Grade und beliebig viel Varia 
blen lineare Ausdrücke von neuen Va 
riablen für die letzteren einsetzt. Ist 
der gegebene Ausdruck ersten Grades, so 
führen die Brtrachtungen auf die Theorie 
der Determinanten, während bei Aus 
drücken höherer Ordnung gewisse For 
men, die man nach Sylvester als Inva 
rianten und Covarianten bezeichnet, von 
Wichtigkeit sind, weshalb man dieser 
ganzen Theorie der linearen Substitution 
auch den Namen Invariantentheorie ge 
geben hat. Dieser wichtige Theil der