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höheren Algebra gehört ganz der neue 
sten Zeit an (etwa vom Jahre 1850), 
und sind in Bezug auf hier Ungehörige 
Untersuchen besonders die Namen: Aron 
hold, Boole, Brioschi, Cayley, Hermite, 
Hesse, Salmon, Sylvester zu nennen. 
Eine Uebersicht des Vorhandenen geben 
George Salmons: Lessons introductory 
to the modern higher Algebra (Deutsch 
von Wilhelm Fiedler). Auch ist beson 
ders zu empfehlen eine Arbeit von Aron 
hold im 62. Bande von Grelles Journal: 
„Ueber eine fundamentale Begründung 
der Invariantentheorie.“ 
2) Allgemeine Theorie der De 
terminanten. 
Der Ausdruck a 1 b 2 — « 2 6, den wir:) 
fl, «, 
schreiben, oder auch wenn kein Miss- 
verständniss zu fürchten ist: («, b a ), 
heisst Determinante der vier Grössen. 
Er ist eine lineare Function von je zwei 
zusammengehörigen Elementen a, « 2 und 
hat die Fundamentaleigenschaft zu ver 
schwinden, wenn man für «,, a 2 auch 
bj, b 2 setzt. 
Wie von den vierVariablen fl 2 ,b,,i 2 
lassen sich von beliebigen n 2 leicht 
Ausdrücke von ähnlichen Eigenschaften 
bilden, die ebenfalls Determinanten ge 
nannt werden. 
Seien zunächst gegeben neun Grössen: 
ci i ^3 
bl b 2 b 3 
c, c 2 c 3 
so ist die Determinante: 
fl, fl 2 fl * 
6, b 2 b 3 
c, c 2 c s 
= K b 2 c 3 ) = a,(6 2 c g) + a 2 (b s c l ) + a t (b i c i ) 
Durch den letzten Ausdruck ist die Determinante völlig definirt, da z. B. 
(b 2 c 3 ) = b 2 c 3 — b 3 c 2 ist. Die Determinante ist ebenfalls ein linearer Ausdruck 
von fl, « 2 fl 2 , da jedem Gliede z. B. «, b 2 c 3 ein anderes — « 2 byC 3 entspricht, 
oder a 3 b 2 c,, so hat sie ebenfalls die Eigenschaft zu verschwinden, wenn man 
die a mit dem b oder c identificirt. Wegen der Symmetrie der Ausdrücke 
findet dies aber auch statt, wenn man die b mit den c identificirt. 
Die Determinante von 16 Elementen ist definirt durch den Ausdruck: 
Cl y 
b 1 b z b 3 b t 
C l C 1 C S C i 
d x d 2 d 3 d t 
= («, b 2 c s d 3 ) = fl, (b 2 c 3 dj - o 2 (6j dy) + a 3 (6* c, d 2 ) 
fl 4 (¿, c 2 dj). 
Damit die Fundamentaleigenschaft stattfinde, dass zwei der Buchstaben a,b,c,d 
identificirt den Werth Null annehmen, müssen hier, wie leicht zu sehen, die Zei 
chen abwechselnd positiv, negativ sein. 
Seien jetzt allgemein n 2 Elemente gegeben. Die Definition ist dann: 
fl, «2 
6, b 2 
c i c« 
— («I b 2 c 3 ... h n )=zay (b 2 c 3 . .. h n )±a 2 (b 3 c 4 .. . /»,) 
+ fl 2 (ft 4 c 2 ... h 2 ) . . . ± a n (byc 2 ... A n _ 1 ). 
Damit ist die Determinante unmittelbar auf die von (n— l) 2 Elementen 
zurückgeführt. Was die Vorzeichen anbetrifft, so sind alle positiv, wenn n ungrad, 
abwechselnd positiv und negativ, wenn n grade ist. Immer aber geben zwei der 
Buchstaben a,b,c...h identificirt das Resultat Null. Führt man das angedeu-