Substitution. 
tion. 
Substitution. 607 
wenn kein Miss 
en ist; («) b a ), 
er vier Grössen, 
rction von je zwei 
menten a i a 2 und 
genschaft zu ver- 
für « a auch 
abl en ß j 5 ^jibp^ 
iebigen ri 1 leicht 
ren Eigenschaften 
)eterminanten ge- 
ien neun Grössen; 
«s 
tete recurrente Verfahren aus, so kommt man sogleich auf folgende Regel, die 
Determinante unmittelbar zu bilden. 
Man schreibt zuerst das Product der in der Diagonale befindlichen Glieder: 
und bildet die daraus entstehenden, wenn man mit den Indices 1, 2, ... n alle 
möglichen Permutationen vornimmt. Das Zeichen jedes Gliedes ist so zu bestim 
men, dass es positiv oder negativ wird, je nachdem es aus dem ersten durch 
eine grade oder ungrade Anzahl von Permutationen hervorgegangen ist. 
Hiernach ist z. B. die Determinante von neun Elementen: 
(a l b 2 c 3 ) = a y b 2 c 3 — ci v b 3 c 3 +« 2 6 3 Cj — öj b t c 3 -j- a 3 6 1 c a — b 2 c l . 
Oft schreibt man alle Glieder einer Determinante mit demselben Buchstaben, 
dem man einen doppelten Index gibt. 
(6lC a ) 
(a a„ „ a 
2, 2 3, 3 
a ) = 
n, iv 
\ ' “l, 2 
W 2, 1 ®2, 2 
n, 1 n, 2 
I, n 
a 
n, n 
definirt, da z. B. 
linearer Ausdruck 
ct 2 b- l c 3 entspricht, 
rinden, wenn man 
ie der Ausdrücke 
irt. 
Ausdruck: 
+ a 3 (64 c, d 2 ) 
1 c 2 d 3 ). 
uchstaben a,b,c,d 
zu sehen, die Zei- 
a ist dann: 
r a (6 3 c 4 . ..Ä v ) 
(*L C 2 •••*„_ l)' 
i_l)2 Elementen 
iv, wenn n ungrad, 
>er geben zwei der 
man das angeden- 
Die Horizontalreihen a . a „ wol- 
P, ' P, 2 
len wir abgekürzt Reihen, die senkrech 
ten dagegen a a ... Columnen 
i,p 2, p 
nennen. 
Aus der Bildung der Determinante 
erhellt dann leicht der Satz: 
I. Eine Determinante bleibt 
unverändert, wenn man die Rei 
hen mit den Columnen ver 
tauscht, d. h. die Horizontalrei 
hen vertikal, die Vertikalrei- 
hen hör iz ontal setzt. 
Hieraus in Verbindung mit der Fun 
damentaleigenschaft ergibt sich noch: 
II. Die Determinante ver 
schwindet, wenn zwei Reihen 
oder zwei Columnen identisch 
sind. 
Wenn man zwei Reihen mit einander 
vertauscht, also z. B. a , a . . . 
1, 1 - 1 
m ’ t “■> < a o . . ., so ist dies dasselbe 
-5 l zi, J 
als wenn zwei Indices permutirt werden, 
wodurch nach dem Bildungsgesetze ein 
Zeichenwechsel eintritt. Also : 
III. Vertauscht man zwei Rei 
ben oder Columnen, so ändert 
sich nur das Vorzeichen der De 
terminante. 
Da von den Gliedern einer Reihe oder 
Columne in jedem Gliede der Deter 
minante eins und nur eins als Factor 
erscheint, so ergibt sich zunächst selbst 
verständlich, dass die Determinante Null 
ist, wenn alle Glieder einer Reihe Null 
sind. Ferner: 
IV. Die Multiplication jedes 
Gliedes einer Reihe oder Co 
lumne mit derselben Grösse « 
bewirkt, dass die ganze Deter 
minante mit « multiplicirt ist, 
V. Haben die entsprechenden 
Glieder zweier Reihen oder Co 
lumnen gleiches Verhältniss, 
so ist die Determinante gleich 
Null. 
Denn durch Multiplication mit dem 
Verhältnisse wird die eine Reihe der 
andern gleich. 
VI. Sind die Glieder einer 
Reihe oderColumne Summen von 
je p Gliedern, so zerfällt dieDe- 
terminante in die Summe von p 
anderen, deren jeder je ein 
Glied einer solchen entspricht. 
Dies ist selbstverständlich, da die 
Summen ja die einzelnen Glieder der 
Determinante multipliciren. Es ist so 
nach z. B.: