Substitution. 
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Substitution. 
ct,+«i «j + a 2 • 
• . a +« 
n n 
«1 a 2 • 
. a 
n 
«1 
Ci 2 • 
. « 
n 
b L b 2 
. b 
n 
= 
6. 6, . 
. b 
n 
+ 
K 
b, • 
. b 
n 
h L h 2 . 
. h 
n 
h l h 2 . 
. h 
n 
K 
K • 
. . h 
n 
Schliesslich erwähnen wir noch des symbolischen Ausdrucks für die Deter 
minanten; man kann nämlich setzen: 
dt d Q • • • 
K K . 
9 i 9t 
h t h a 
h 
= (a — h) (« — c) .., (a — g) (a ■ 
h) (b-c)...(b-g)(b-h) 
... {g - h). 
Der Ausdruck rechts hat die Bedeutung, dass man nach seiner Entwickelung 
nach Potenzen von a, b, c .. . die Exponenten sämmtlich mit Indices vertauschen, 
also z. B. für oV schreiben soll ciy Die Uehereinstimmung des Resultats leuchtet 
dann augenblicklich ein. 
3) Unterdeterminanten. — Beziehung der Determinante zur 
Auflösung der linearen Gleichungen. — Mu Itiplicati on s th eorem. 
Die Auflösung linearer Gleichungen erhält durch die Anwendung der Deter 
minanten eine wichtige symbolische Form, von der jedoch zu bemerken ist, dass 
sie sich selten zur numerischen Rechnung eignet. Zuvörderst ist jedoch noch etwas 
über die Gestalt der Determinanten zu sagen. Nach der Definition war: 
a 
a 
h I 
2, t 
a. 
l, 2 
'2, 2 
a 
a 
I, n 
■2, n 
i . u „ , 
n, 1 n,2 
n, n 
= (*i,t «2, 2 ••• %,«) = «.,t( ß 2,2 «3,3 ••• a n,n> 
±«1,2 («2, 3 •••*«,.) + ®i, 3 («2, /. «3, 5 • ‘ • ««, 2) 
± ± «!,«<«2,1 a 3,2-‘-«n, M -l ) 
wo die Permutationen immer den zweiten Indices gelten. Die mit a { a f . 
multiplicirten Glieder sind offenbar wieder Determinanten aber von (n — l) 1 Ele 
menten, sie werden Unterdeterminanten oder Minoren genannt. Unerheblich ist 
dabei das doppelte Vorzeichen, da im Falle dasselbe minus ist, es durch eine 
Permutation positiv werden kann. 
Setzen wir nun die Unterdeterminanten bezüglich gleich A ^A { ... M> 
die Hauptdeterminante gleich A, so ist: 
A = «1,1 ^1,1 +«1,2 ^1,2 1 • * + «l, 
I, n 
Eben so kann man aber wegen der Symmetrie sich die Determinante A 
in Unterdeterminanten multiplicirt mit den Gliedern einer beliebigen Reihe 
a n „ ... a denken. Seien diese ünterdeterminanten A . A ...A . 
Pi 1 p, 2 ,p, n P, 1 Pi 2 Pi 11 
so ist also auch: 
A — a A 4- a „ A „ . , . a A 
^ p, 1 p, 1 ^ p, 2 p, 2 p,n p, n