ition. 
i, indem man die 
d einer Reihe der 
ät sich dieses Re- 
minante: 
'iß» + c i73 I 
'ißi+CiYs 
>sßi+c 3 yi ' 
3h aus jedem drei, 
n Abschnitts; von 
¡inen Factor unter- 
Substitution. 
bilden lässt, da, wie leicht zu sehen, in jedem Gliede zwei Reihen Vorkommen, die 
sich nur durch Factoren unterscheiden. 
Diese Betrachtungen können als das erweiterte Multiplicationsthcorem be 
zeichnet werden. 
Aus dem Vorigen folgt auch sogleich. Wenn man in n gegebene lineare 
Functionen von x lt a? a . .. x n A), also 6,, b 2 ... eine lineare Substitution B) 
macht, so ist die Determinante der transformirten Ausdrücke gleich dem Pro 
ducte der Determinanten der Systeme A) und B). Eine solche Substitution wird 
orthogonal genannt, wenn sie die Bedingung erfüllt: 
D) 
4-* 2 2 + . . . , = ...+«, 
Der Name kommt daher, weil diese Bedingung bei drei Variablen der Ver 
wandlung eines orthogonalen Coordinatensystems in ein anderes entspricht. 
Setzt man die Werthe der x aus B) in C) ein, so kommt: 
«, a 4- M a a + . . . + « # a = (« x i M, + «! 2 + • • • + « t u n n y 
+ («2 t M|+« 2 2 «2 + . ■ . + a .¿n u n ) 2 + 
haben ; 
«iß»yt -»iYtß») 
mgesetzten Factors 
toven aber bilden, 
Werth der zuerst 
n für n 2 Variablen 
izahl der a und « 
Determinante 
E) 
t a 4- a 2 
1 p 2 p 
t. K, -4- cc„ ß„ + ... 4- a a 4- 
Ip lq~ 2p 2q ' np nq r 
wo q ungleich^) ist. 
Setzt man nun in den Gleichungen C): 
so wird : 
Determinante der 
), wenn nur die 
■n n + p, die der 
Elimination nicht 
ie Verfahren an, 
.. zweier Deter- 
itsprechenden zu 
« bilden lassen. 
n n 
. « .)+••• 
n 1' 
die der u, die der 
is B in A ein, so 
Eliminationsdeter- 
ch aus 
+ (« M ; M i + « M 2 + 
+ ß u )*. 
' nn n’ 
Entwickelt man die rechte Seite der Gleichung, und vergleicht die Coefficienten 
der m auf beiden Seiten, so ergibt sich; 
4- ... 4- « * = 1 
np 
a — ß 
p, q p, q 
und bezüglich gleich Eins oder Null, je nachdem q gleich p oder von p ver 
schieden ist. Man hat aber: 
A 2 = D = 
Ein Ausdruck, der offenbar gleich Eins ist. Also: 
A 2 = 1 A = + 1 
Die Determinante einer orthogonalen Substitution ist ent 
weder 4-1 oder —1, 
oder: 
Die Determinante eines Systems unterscheidet sich von der 
eines daraus durch eine orthogonale Substitution gebildeten Sy 
stems entweder gar nicht oder nur durchs Vorzeichen. 
c  • 
• c . 
10 0 . 
. 0 
ll 2 1 
n 1 
0 10. 
. 0 
C 1 2 C 2.2 - 
■ C n 2 
= 
0 0 1. 
. 0 
C 1 n C 2 « 
. c 
n n 
0 0 0. 
. 0 
isvftvj :, 
èi| 
: