Substitution. 
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Substiuttion. 
Determinanten theilen diese Eigenschaft, 
wie leicht zu sehen, mit gewissen Unter- 
determinanten, nämlich denen von der 
Form: 
(«ll a 
2 2 
J p—sp—s p-\- 
a ), 
n n' J 
deren erstes Glied also durch die Dia 
gonale gebildet wird. Diese bezeichnet 
man oft als Haupt-Unterdeterminante. 
Da ferner bei den symmetralen Deter 
minanten, bei Vertauschung der Colonnen 
mit den Reihen jedes Glied sein Zeichen 
ändert, und somit die Determinate selbst 
ein anderes Vorzeichen erhält, wenn die 
Anzahl ihrer Glieder ungrade ist, bei 
grader Anzahl aber dasselbe behält, so 
folgt hieraus, da eine solche Vertau 
schung die Determinante nicht ändern 
darf; 
Eine symmetrale Determinante 
von ungrader Gliederzahl ist 
immer gleich Null. 
Dasselbe gilt natürlich für alle Haupt- 
Unterdeterminanten , je nachdem die 
Gliederzahl der letztem grade oder un 
grade ist. 
Symmetrische Determinanten haben, wie 
leicht zu sehen, auch symmetrische Reci- 
proken. Ebenso zeigt sich, dass die 
Reciproke einer symmetralen Determi 
nante dann auch symmetral, wenn die 
Gliederzahl grade ist. 
Ist die Gliederzahl ungrade, so ist 
die ursprüngliche Determinante und nach 
dem im vorigen Abschnitte Gezeigten 
auch die Reciproke gleich Null, Die 
letztere hat dann symmetrische Form. 
Die Sätze über die Gestalt der Unter 
determinanten als Differenzialquotienten 
sind für symmetrische und symmetrale 
Determinanten zu modificiren, da hier 
jedes Element a zweimal vorkommt. 
P ( J 
ei I- -| der Differenzialquotient 
V a p qJ 
Sei 
nach beiden a , dann ist: 
p q 
/ dA \ _ d/\ 
\da } da 
' pq/ pq 
+ 
d A 
da 
qp 
= A +A , 
pq qp 
für symmetrische Determinanten also, wo 
A pq ~ A q p’ 
(y—\=2A , i~—\ = A . 
\ da pqf pq V a p pJ PP 
Dagegen ist für symmetrale Determi 
nanten von gradem Grade: 
A - - A , 
pq qp 
(da A , A Glieder der Reciproke 
v pq qp 
sind), also: 
bei ungradem Grade, wo A —A ist: 
pq qp 
Da bei ungrader Gliederzahl der sym 
metralen Determinante dieselbe ver 
schwindet, so sind nach einem im vori 
gen Abschnitte bewiesenen Satze die 
entsprechenden Glieder verschiedener 
Reihen der Reciproke proportional, also: 
A A A A 
pq r q p q _ p r 
A “ Ä~ ’ A “ Ä~ ‘ 
pp rp q q qr 
Da aber die Reciproke symmetrisch ist, 
so erhält man durch Multiplication bei 
der Gleichungen: 
(A Y 
K pq' 
-1. 
i) 
oder auch: 
A A 
pp qq 
A = YÄ A 
pq pp qq 
Jedes Glied der Reciproke einer sym 
metralen Determinante von ungrader 
Gliederanzahl ist gleich der mittleren Pro 
portionale der beiden Glieder der Dia 
gonale, welche mit dem gegebenen in 
einem Index übereinstimmen. 
Seien jetzt a, . . . a wieder die 
J l l nn 
Glieder einer beliebigen Determinante, 
A, „ . . . A die Unterdetermi- 
l 1’ t 2 nn 
nanten, B die a entsprechende Un- 
pq pq 
terdetcrminante der Determinante A r , so 
lässt sich leicht die Gleichung beweisen. 
1) A = a 
A —2a a B , 
rs pqPP P<1 
q = 1, 2 ... r — 1, r+1...W 
p — 1, 2 . . . s — 1, s -f-1 . . . n 
zu setzen ist. Denn offenbar kommt ein 
Glied a vor, welches mit der entspre 
chenden Unterdeterminante A multi- 
r s 
plicirt ist.