Substitution. 
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Substitution. 
Seien zunächst gegeben zwei Glei 
chungen : 
f/ '0) ~ a ° xm + a i xM ~ i + * • • + a m = 0 
*P(x) ~ ^^ * + • • • + b n = 0. 
Sei zunächst « 0 = 1 und b 0 = 1. 
Seien die Wurzeln der ersten Gleichung 
x., x» . . . x . 
* m 
Setzt man einen dieser Werthe x in 
s 
die zweite Gleichung ein, so kommt 
Division mit diesen Grössen auf die eben 
betrachtete Form, zum Schlüsse wird 
dann durch Multipliciren mit der höch 
sten Potenz von a 0 und b 0 der Nenner 
weggeschafft. Es ist daher in diesem 
Falle die Resultante eine homogene 
Function der Coefficienten. Denn ehe 
sie von den Brüchen befreit wurde, ent 
hielt sie nur die Ausdrücke: 
war also homogen vom Grade Null, durch 
Multiplication mit einer Grösse aber wird 
die Homogenität nicht aufgehoben. 
Die Formen sind in diesem allgemei 
neren Falle: 
es verschwindet also auch das Product: 
' P i x t) ‘ ’ ’ ^(» w )‘ 
Dies ist eine symmetrische Function 
der Wurzeln der ersten Gleichung, mit 
hin eine ganze rationale Function der 
Coefficienten derselben, von x frei, und 
somit die Resultante. 
Sind a/ 1 ), x. , . x^ die Wurzeln 
der zweiten Gleichung, so ergibt sich 
für die Resultante auch die Form: 
7 [®^] 7 [x^] . . 
. . 7 [xH 
Beide stimmen bis höchstens aufs Vor- 
Zeichen überein. Denn 
sich schreiben : 
die erste lässt 
1 1 
1 
Ä 
i—i 
I 
X? 
. . . [x t — x^] 
[x a — a^ 1 )] [x a — x^] 
- x H) ] 
[x — x^l [x — x^l 
L m J L m J 
■ • ■ 
und die zweite: 
[x^ — X t ] [x^^— x a ] . 
: . [a/ 1 ^ — x ] 
, . x ] 
L 
[x^- xj (>(”)-x a ] . 
■ ■ 
Völlige Uebereinstimmung findet also 
statt, wenn wenigstens eine der Zahlen 
m und n grade ist. 
Sind a 0 und h 0 beliebig, so bringt 
man die Gleichungen 7 und xp durch 
ßi V(*i) VK**) • • • ^( x m ) 
= + [xW] 
Die erstere Form zeigt, dass die Coef 
ficienten von xp in der m ten, die zweite, 
dass die von <p in der wten Dimension 
enthalten sind, also: 
DieResultate zweier Gleichun 
gen vom m ten und »ttcn Grade ent 
hält die Coefficienten der ersten 
in der wten, die der zweiten in 
der Mten Dimension. IhreDimen- 
sion ist daher mn wenn man alle 
darin enthaltenen Grössen b e - 
t rächtet. 
Wird jede der Wurzeln x v , x 2 . . . 
a/ 1 ). a/'^ .., mit einem Faktor c multi- 
plicirt, so wird offenbar die Resultante mit 
c m n multiplicirt sein. Dieses Muitipli- 
ciren der Wurzeln ist aber dasselbe, als 
wenn in (f multiplicirt wird a t mit c, «, 
mit c 2 . . .; Gleiches gilt für xp, d. h. 
wenn man in der Resultante für a , h 
V P 
bezüglich schreibt ß^c^, Ä o^, 80 
dies dasselbe, als wenn die Resultante 
mit c m n multiplicirt wird. Die beschrie 
bene Substitution ist aber gleich einer 
Multication jedes Gliedes der Resultante 
mit einer Potenz von c, welche die Summe 
aller Indices des Gliedes zum Exponen 
ten hat, also z. B. a a b b mit 
’ p q r s 
‘^ s . Da nun dieser Exponent 
gleich mn ist, so folgt: 
Die Summe der Indices jedes 
Gliedes der Resultante ist die 
selbe und zwar gleich mn. 
üebrigens ist offenbar die Resultante 
der beiden Gleichungen <p — 0, xp — o 
auch die der Gleichungen ;