Substitution. 
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Substitution. 
man allen Gliedern, welche die Potenzen 
irgend einer Unbekannten z. B. x mul- 
tipliciren, einem dem Exponenten der 
selben gleichen Index gibt, also dem 
Coefticienten von den Index p, dass 
dann die Summe der Indices jedes Glie 
des der Resultante nn l n 1 beträgt. Fer 
ner wenn drei homogene Gleichungen 
vom Grade n, n l , n 2 mit vier Variablen 
x, y, 2, u gegeben sind, dieselben durch 
n, n t , n 2 Werthsysteme erfüllt werden. 
— Hieraus dann ergibt sich die Bildung 
der symmetrischen Functionen von — > 
u 
y z 
— , — womit man dann auf die Resul- 
u u 
tante von vier Gleichungen übergehen 
kann u. s. w. 
Es folgt hieraus, dass die Resultante 
von p Gleichungen in Bezug auf die 
Coefficienten einer jeden homogen und 
von einem Grade ist, der durch das Pro 
dukt der Grade der übrigen p — 1 Glei 
chungen angezeigt wird. Das Produkt 
der Grade aller zeigt die Indicessumme 
jedes Gliedes der Resultante an, wenn 
man jedem Factor der Potenzen einer 
Variable etwa von xP den Index p gibt. 
Die Theorie der Resultante gibt auch 
ein einfaches Mittel, die symmetrischen 
Functionen der gemeinschaftlichen Wur 
zeln mehrerer Gleichungen leicht zu 
bilden. 
Seien n — 1 Gleichungen mit n Un 
bekannten gegeben. 
Man fügt eine nte lineare Gleichung 
hinzu, f — 0, eliminirt man dann n —1 
Unbekannte, so ist die Resultante, wel 
che noch eine Unbekannte | enthält: 
f(xv J/n • • 0» fO,, y%> • • •) 
• • • f(*s' V *5 ' * •) 
und die einzelnen Glieder mit der in 
dependenten Darstellung verglichen gibt 
die einfachen symmetrischen Functionen 
der x, y, z . . . als Coefficienten der 
gleichen Potenzen von £ in beiden Dar 
stellungen. Hieraus aber lassen sich alle 
symmetrischen Functionen bilden. 
Ersetzt man nun f durch eine Glei 
chung F vom beliebigen Grade, so lässt 
sich, da die symmetrischen Functionen 
bekannt sind, die Resultante sogleich 
herstellen. Man kann hierbei von zwei 
Gleichungen, deren eine linear ist, aus 
gehen, diese letztere durch eine beliebige 
ersetzen, mit einer dritten linearen ver 
binden u. s. w., wodurch sich dann die 
Resultante von beliebig viel Gleichungen 
bestimmen lässt. 
7) Von den gemeinschaftlichen 
Wurzeln mehrerer Gleichungon. 
Das Verschwinden der Resultante ist 
die Bedingung, dass beide Gleichungen 
eine gemeinschaftliche Wurzel haben. 
Bildet man aus n homogenen Gleichun 
gen mit n Unbekannten, auf welche Form 
sich ja ein nicht homogenes System mit 
7i—l Unbekannten bringen lässt, die 
Resultante, und verschwindet diese, so 
lassen sich, die Verhältnisse der Un 
bekannten im Allgemeinen als rationale 
Functionen der Coeffictenten darstellen. 
Es soll hier die entsprechende Form ge 
funden werden. 
Seien gegeben die Gleichungen; 
f = o. *p - o, x - 0 
und (f> von der Form: 
771 . , TO — 1 . 711 — 2 
(f — ax + bx y + cx z + . . , 
Sei R(a, b, c . . .) die Resultante 
dieser Gleichungen. Ersetzt man nun in 
tf die Coefficienten: a, b, c . . . bezüg 
lich durch a + «, b -f- ß, c + y . . . so 
bleibt die Resultante unverändert, wenn 
die Vermehrungen y. ungeändert lassen, 
also die Bedingung erfüllen: 
1\ to , 0 to— I , to— 2 . 
1) ax -f- ßx y +yx z + • • • 
Nun hat die Resultante aber nach der 
Aenderung die Form: 
R (os + er, b + ß, c -f- y) . . . =0. 
Setzen wir «, ß, y, die bis auf die Be 
dingung 1) beliebig sind, unendlich klein, 
so ergibt sich da R {a, b, c . . .) = 0 
ist, auch: 
ß y 
also da die Verhältnisse —, — 
ß ß 
liebig sind im Vergleich mit 1): 
d R d R d R 
X -.y-z . . ■ = :: 
. . be- 
Da, wenn man eine beliebige Gleichung 
mit 7i — 1 Unbekannten homogen macht, 
x, y, z ... durch er * 
* u u u 
setzt werden, so geben also diese Ver 
hältnisse in diesem Falle die Unbekann 
ten selbst. 
Offenbar kann man statt a, b, c be 
liebige Glieder von y nehmen, die im 
Verhältnisse x : y : z . . . stehen, al s0 
enthalte y die Glieder: 
gx p y <J + hx v ~ 1 j