ition. 
einschaftlichen 
• Gleichungon. 
der Resultante ist 
beide Gleichungen 
e Wurzel haben, 
raogenen Gleichun- 
n, auf welche Form 
logenes System mit 
bringen lässt, die 
fhwindet diese, so 
rhältnisse der Un- 
einen als rationale 
ictenten darstellen, 
»rechende Form ge- 
Gleichungen: 
0. * = o 
Substitution 
so ist auch: 
dH d R 
dg ' äh' 
In Ausnahmefällen kann es Vorkom 
men, dass es mehrere Werthsysteme von 
x:y:z gibt, welche den Bedingungen 
genügen. Dann muss aber, da das Ver- 
hältniss kein eindeutiges bleiben darf: 
dR dR dR 
de 
= . . . = 0 
4- cx 
■'* +. 
.) die Resultante 
Srsetzt man nun in 
a, b, c . . . bezüg- 
■ ß, c + y . . . so 
unverändert, wenn 
ungeändert lassen, 
rfüllen: 
m— 2 , 
- yx a + . . • 
ante aber nach der 
+ y ) . . . =0. 
die bis auf die Be 
nd, unendlich klein, 
l («, b, c . . .) = 0 
da db 
sein. D. h.: 
Haben die Gl eich ungen zwei 
oder mehrere gemeinschaftliche 
Wurze 1 systeme, so raüssensämmt- 
liche erste Differenzialquotien 
ten der Resultante verschwinden. 
Um in diesem Falle die gemeinschaft 
lichen Wurzelwerthe zu finden, bemerke 
man, dass man hat, da R und seine er 
sten Differenzialquotienten verschwinden: 
R{a + a, b + ß . . .) = 
8) Andere Lösungen des Eli 
mination sproblems. 
Für theoretische Untersuchungen ist 
die Eliminationsmethode mittels symme 
trischer Functionen die beste. Bei wirk 
licher Berechnung führen jedoch andere 
Methoden schneller zum Ziele. 
Wir betrachten zunächst zwei Glei 
chungen. 
Seien dieselben Gleichungen zunächst 
von gleichem Grade: 
« . n — 1 I , 
eiqX -j- a, x -j- ... a 
0 
h 0 x n -f- b l x r ‘ 
+ . . . + h =0. 
1 1 n 
, . dm d a ß 
+ 2 i -nTßj} + v 
dadb 1 db*** *••)”■ 
0. 
Da die Verhältnisse der « und ß über 
einstimmen, so kann man sie bis auf 
je zwei verschwinden lassen, es muss 
dann also z. B, die Gleichung: 
dUi d 2 R dm , 
■vt«* -f-2-*—r-, (*ß + -57— ß 2 =0 
da- dadb db 2 r 
mit Gleichung 2), d. h.: 
m . n m—1 A 
ax + ß x y = ü 
übereinstimmen, daraus erhält man, wenn 
man a und ß eliminirt; 
. = 0 
JL . . . be- 
£ 
et ' a 
mit 1): 
R dR 
)b de 
ehige Gleichung 
homogen macht, 
u u ' u 
»en also diese Ver- 
'alle die Unbekann- 
,n statt a, b, c be- 
y nehmen, die im 
. . . stehen, ab° 
dm , n d*R , dm 
x 2 = o, 
’-V+ 1 
eine Gleichung, welche zwei Systeme x 
und y ergibt. In gleicher Weise folgen 
die übrigen Unbekannten. 
Sollen mehr als zwei Werthsysteme 
stattfinden, so müssen also auch alle 
zweiten Differenzialquotienten von R ver 
schwinden , und zur Bestimmung der 
Unbekannten ergibt sich eine Gleichung 
dritter Ordnung. Also allgemein: 
Wenn n Werthsysteme die Glei 
chungen verificiren, so muss 
die Resultante und alle ihre n 
Differenzialquotienten bis zur 
(u 1) ten Ordnung verschwin 
den, die rite Ordnung aber nicht, 
und aus diesen ergeben sich Glei 
chungen nten Grades zurBcstim- 
mung der Systeme. 
Man multiplicirt die erste Gleichung 
mit b 0 , die zweite mit a 0 und subtrahirt, 
ebenso die erste mit b , die zweite mit 
n 
a n und subtrahirt. Die letztere Diffe 
renz kann dann durch x getheilt werden, 
man hat also zwei Gleichungen (w — 1) sten 
Gi’ades mit dem man ebenso verfährt 
u. s. f., so dass man schliesslich zwei 
Gleichungen ersten Grades hat, aus de 
nen man x eliminirt. Von den zuletzt 
genannten zwei Gleichungen gibt übri 
gens eine jede x selbst als Function der 
Coefficienten. 
Sind die Gleichungen von verschiede 
nem Grade: 
a 0 x n ~^P + a L x n ^~P 1 -f- . . . 
+ tt n+p = 0 
b 0 x + b t x 1 + • • • + b n = 0, 
so multiplicirt man die erste mit b 0 , die 
zweite mit a 0 x^ und subtrahirt, man 
hat dann eine Gleichung vom Grade 
n -f p — 1 
/ n+P~ 1 1 /, 1 n n+p — 2 . 
[a 0 b)x Ir +(fl 1 o 1 )a; ' +••• 
-4- a . — 0. 
1 n-j-p 
Diese wird mit b 0 und die zweite Glei 
chung mit (a 0 b)xP 1 multiplicirt, und 
subtrahirt, wodurch eine vom Grade 
n-f-p — 2 entsteht; so fortfahrend bringt 
man die erste Gleichung auf den Grad n 
und hat sie dann mit der zweiten in der 
obigen Weise zu behandeln. 
Diese Methode gibt aber das Resultat 
mit nicht dazugehörigen Factoren be 
lastet, gibt also nicht eigentlich die Re 
sultante. Von diesem Uebelstand sind 
die folgenden Methoden frei. 
Nach Sylvester verfährt man folgender- 
raaassen. 
Seien die Gleichungen: 
40 
ill 
m 
V M 
Pi 
km 
k'ij 
> 
11« ■■ n? 
mm 
ii 
iflli 
f{M 
|p! 
fl 
tM 
} 
Pm\ 
m 
.'ipii 
1*5 
4?eS 
teil 
il'i ' jw *;■ 
ijgSN 
g|| 
Ümi 
m