* , h T m ~ X 4- 
. + b = 0. 
Man multiplicirt die erste nach der 
Reihe mit 
, 711 — l 
x, x 2 ... x 
die zweite mit 
Man hat dann ein System von »n-f-n 
Gleichungen, worin in linearer Form 
Vorkommen 
Substitution, 
durch x — dividirt gibt: 
K«0*|)* + K Ä 2 )] *1 + («oM* 
+ («,6 2 ) =0, 
also wenn man die Coefficienten von x, 
und x°, einzeln verschwinden lässt : 
i a o b l) (^0 ^j) 
(«o ^ j) (** I ^l) 
= 0. 
:r 0 , x, x 2 . 
X 
m-f-w— x 
Diese m -)- n Grössen kann man als 
unabhängige Grössen betrachten und cli- 
miniren, man erhält dann die Resultante 
in Determinantenform. 
Berechnet man aus >« + n — 1 der 
Gleichungen x, eliminirt man 
x 2 , x 3 
m-\-7i— l 
so hat man x als Function der Coeffi 
cienten. 
Cayley verfährt folgendermaassen. 
Seien 
Sind drei Gleichungen mit zwei Unbe 
kannten gegeben, so kann man aus je 
zweien auf eine der angeführten Arten x, 
und aus den zwei so entstehenden y 
eliminiren. 
In gleicher Weise setzt sich dies Ver 
fahren für eine beliebige Anzahl von 
Gleichungen fort. Dies Verfahren gibt 
aber nicht immer die Resultante frei von 
fremden Factoren. 
9) Die Functionaldeterminante 
und die Hesse’sc he Determinante. 
Seien gegeben n Functionen 
fv f* ' ' • f n 
von n Variablen 
7 (®) = 0, >/{x) — 0 
die Gleichungen, haben sie eine gemein 
schaftliche Wurzel x t , so muss die Glei 
chung : 
7 + kifj — 0 
unabhängig vom Werth von k durch 
dieselbe erfüllt werden. 
Nun ist: 
; »(*) 7- OO 
xp{x) ip{A 
also: 
7 ( x ) V*( x i) ~ V (*i) V'(®) = 0, 
ein Ausdruck, der jedenfalls durch x—x v 
getheilt werden kann. Geschieht dies 
und setzt man dann die Factoren der 
Potenzen von x einzeln gieich Null, so 
hat man hinreichend viel Gleichungen, 
um die Potenzen von ar, als unabhän 
gige Grössen zu eliminiren. Z. B.: 
a 0 x 2 + a v x~\-a t = 0 
b o* 2 + b tX+ b i = 0. 
Ca 0 x 2 +a l x +a a ) + 6 i«i + l> 2 ) 
-( a » : < ; i. J +«i*i + ß,) {b 0 x 2 + b t x + i 2 ) 
so nennt man die aus den partiellen 
Differenzialquotienten derselben gebildete 
Determinante mit Jakobi: „Functional- 
Determinante“. Bezeichnen wir dieselbe 
mit Ar/ \ und setzen wir: 
f( x ) 
dx st 
s 
so ist also: 
‘‘({x) 1 ^2 2 
^11 f \ 2 
f> , fo o 
f ) 
1 n w 
f\ n 
n 
f f 
'71 1 'n 
Sind die Functionen f verbunden durch 
irgend eine Relation 
7‘ifvf* • • • f n ) = 0, 
so hat man: