Substitution. 
Substitution. 
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_L —L f 4. 1 
dfjl + »f % f l2 + • • • + dfJin 
da. 
V' p I d, T c 1 , f _ n 
rjx+wj™ + ' • • + dT f 2n-° 
d v 
da. 
da 
Wj^+Wjni+- ■ ■ + w/, 
und deshalb durch Elimination der Grössen — : 
% 
°‘ 
Umgekehrt: Verschwindet die Functional-Determinante, so findet zwischen den f 
eine Relation statt. 
Denn ist letzteres nicht der Fall, so muss es möglich sein, irgend eine der 
Variablen x x durch die f auszudrücken, so dass man hat: 
®i = V> (A A • 
Hieraus ergibt sich durch Differenziiren: 
1 Jjtf J-lf + 
df t 2 1 + dfjl 2 + 
O- 
dtp 
^ df 'in 
'n 
4 
0 = — f +— f + . . 4- — f 
df v + df n r n 71' 
d iL 
und die Differenzialquotienten erhalten hiernach Ausdrücke, deren gemein 
es 
schaftlicher Nenner . ist. Verschwindet derselbe, so ist es also unmöglich, 
/ \ x l 
x l in der angedeuteten Weise darzustellen, und es findet eine Relation statt, oder 
eines der f ist einer Constante gleich. 
Die Functional-Determinante kann auch auf ein System linearer Gleichungen 
bezogen werden. Es ist nämlich: 
d f n = f tn dx i + fr, n dx^ + . . . + f t 
dx . 
np n 
dx bestimmen 
n 
•p •1p 1 ■ '2 p 
Dies ist ein System von n Gleichungen aus denen man dx x . 
kann. Der gemeinschaftliche Nenner ist dann Af( x y 
Seien jetzt 
fi' /■*••• fn 
zunächst Functionen von 
Vi, Vi • • • y n 
diese aber selbst Functionen von 
x n **'*••• x n 5 
es ist dann A« ^-1- A« \ die Functional - Determinante der f, bezüglich als 
„ . r(y) /(*) 
Function der y und x gedacht, A y (x) die der y. Man hat dann: 
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