Substitution. 
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Substitution. 
Denn seien gegeben z. B. die homogenen Gleichungen u, v, w . . . mit drei 
Unbekannten x, y, z. Sei der Kürze wegen: 
du 
du 
du 
— — ßj, 
ox 
dj~ " 
dz ~ 
dv 
d v 
du 
Tx = a ^ 
d~V~ K ' 
dl“ 
so ist nach dem bekannten Satze von homogenen Functionen: 
a l x-\-b x y-\-c x z = n L u 
a 2X + l> i y + c 2 z = n 2 v 
a sX + l> 3 y + c s z = n s w, 
wo n t , n.j, n3 , . . bezüglich die Grade von u, v, w sind ; eliminirt man nun 
y und z, so kommt offenbar: 
A* = (ß l J s c s ) x = An x u -f- Bn 2 v -j- Cn 3 ic, 
wo A die Functional-Determinante darstellt. Verschwindet u, v, ic . . ., so 
muss letztere also auch verschwinden. Ist jetzt 
n x — n 2 = m s = n, 
so erhält man durch Differenziiren: 
dA d^l dB dC 
A + ® = nu + mu + «w ^ + n {a x A + a 2 B -}- a 3 C) 
ÖA dA dB , dC 
= nM d^ +nv Ty+ nw ^ (M + M + * 3 C) 
4, #, C sind aber die Unterdeterminanten, also: 
a x A + a 2 B-\- a 3 C = A 
b x A + b 2 B + b 3 C = 0, 
also da A, u, v, io verschwinden, so muss auch: 
d_A _ dA dA _ q 
da: dy dz 
sein. Dieser Beweis gilt offenbar für beliebig viel Variablen. 
Eben so lässt sich zeigen: 
Wenn unter w + 1 homogenen Gleichungen n von demselben 
Grade sind, so sind die partiell en Differenzialquotienten der 
Functi on al-Determinante den Differ enzialquo tienten der (u-}-l)ten 
Function, die nicht mit ihnen von gleichem Grade ist, proportional. 
Denn sind im vorigen Beispiele, n 2 = n s — n, n l ungleich n, so ist, wenn 
man A — u — x> — w gleich Null setzt: 
x ”T“— = n {a x A + a 2 B + a 3 C) + ( n i — n ) Aa x 
x —— — n (b x A -j- b 2 B-\~ d^C 1 ) 4* (^i tt) Ab| 
oy 
und da die mit n multiplicirten Glieder verschwinden: 
dA _ dA 
dx ' dy 
• — a i : b i 
was zu beweisen war.