Substitution. 
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Substitution. 
Hieraus lässt sich augenblicklich die 
Resultante dreier homogenen Gleichun 
gen vom zweiten Grade in Determinan 
tenform hersteilen. 
In der That ist ihre Functional - De 
terminante vom dritten, deren Differen 
zialquotienten vom zweiten Grade. Die 
letzteren bilden also ein neues System 
von drei Gleichungen, welche durch 
die Wurzeln der gegebenen befriedigt 
werden. 
Eliminirt man also aus den sechs 
Gleichungen: 
u — 0, 
v = 0, 
dx 
= 0, 
— - o — 
dy ’ dz 
w = 0 
0 
die sechs linearen Unbekannten: 
x 1 , y 2 , z 2 , xy, xz, yz, 
so hat man die Resultante in Deter 
minantenform. 
Dies lässt sich noch auf drei Glei 
chungen vom dritten Grade anwenden. 
Die Differenzialquotienten der Deter 
minante sind vom fünften Grade. 
Multiplicirt man nach der Sylvester- 
schen Methode die drei gegebenen be 
züglich mit: 
x 7 , y ! , z 5 , xy, xz, y 2 
so hat man 18, also mit den Differen 
zialquotienten zusammen 21, woraus sich 
X s , x l y . . . eliminiren lassen. 
Einer weiteren Ausdehnung ist dies 
Verfahren jedoch nicht fähig. Indess 
hat Sylvester die Resultante dreier ho 
mogenen Gleichungen von gleich hohem 
Grade in Determinantenform gegeben. 
Sei der Grad n, so multiplicirt man 
n— 2 
jede mit x 
also mit den 
n—3 
* V 
n {n — 1) 
Gliedern einer 
Gleichung n — 2ten Grades, so ergeben 
3 tVilfh ——* ~| 
sich ' Gleichungen. Diese Glei- 
chungen sind aber von (2m—2) ten Grade, 
und enthalten n{2n — 1) Glieder, um also 
die Potenzen als lineare Unbekannte be 
trachten zu können, bedarf man noch 
n -^±^ Gleichungen. 
Man zerlegt jede der drei Gleichungen 
nach der Form 
Ax a + Byß -\- Cz^, 
wo A, B, C noch Unbekannte enthalten, 
derart, dass « + /i4-y = n + 2 ist. 
Jede Zerlegung gibt eine entsprechende 
Determinante (A, B i ,C i ), welche gleich 
Null zu setzen ist. 
Wie leicht zu sehen, lässt sich aber 
diese Zerlegung auf Arten an 
stellen, und diese sind die fehlenden 
Gleichungen z. B. für n = 4 bringt man 
die drei Gleichungen jede nach einander 
auf die Form: 
Ax* -J- By + Cz, 
A x x 3 + B t y 2 + C L z, 
A. 2 x 2 + B 2 y 2 + C, z 2 . 
Jede Zerlegung stellt drei Gleichungen 
vor, welche eine Determinante, geben, 
durch Vertauschen von x mit y und z 
gibt die erste 3, die zweite 6, die dritte 
nur ein System, die Anzahl ist also 10. 
In der That ist für n = 4: 
n (n + 1) 
2~~ 
= 10. 
Sind die Grade der Gleichungen nicht 
gleich, so findet diese Methode zwar An 
wendung, das Resultat enthält aber dann 
fremde Factoren. Wie diese wegzuschaf 
fen sei, zeigt Cayley folgendermaassen. 
Die Schwierigkeit liegt darin, dass man 
in diesem Falle nicht grade soviel Glei 
chungen als lineare Unbekannte erhält, 
wenn man mit x n > x n 1 y u s. w. mul 
tiplicirt, und n angemessen nimmt, jedoch 
lässt sich n natürlich so wählen, dass 
die Anzahl der Gleichungen zu gross ist. 
Dies kommt auf folgende allgemeine*Auf 
gabe zurück. Seien etwa in -f- p Glei 
chungen mit m Unbekannten gegeben. 
Je nach der Auswahl von m derselben 
erhält man ein Resultat, das, wie leicht 
zu sehen, höher als der Grad der Resul 
tante ist, es findet also bei jeder Aus 
wahl ein anderer, der Aufgabe fremder 
Factor, statt, der zu entfernen ist. 
Sei z, B. 
m = 3, p = 1, 
man hat dann vier Gleichungen: 
s = 0, 1 = 0, u = 0, v = 0, 
welche die Unbekannten x, y, z, die Po 
tenzen und Produkte der gegebenen Va 
riablen linear enthalten. Da sie aber 
nicht von einander unabhängig sind, so 
findet eine Beziehung (im Allgemeinen 
p) statt 
J -f- A 2 t j- A4 A ¿v = 0* 
Dann enthält die Eliminations-Deter 
minante der drei Gleichungen s, t, u, A t 
als Factor, denn mit A t gleich Null, sind 
s, t, u durch eine lineare Beziehung ver 
bunden, also ihre Determinante gleich 
Null.