Substitution. 
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Substitution. 
und ersetzt z. B. in der ersten u links 
und v rechts durch ihre Werthe 
m , , nt— l . 
ax + ° x */ + ••• 
Multiplicirt man dann mit 
X P~ 2 , X P~ 3 y + ... 
und die zweite mit x m . . ., 
• 2 
dritte mit x . . ., so hat man : 
nt (m — 1) + n (n — 1) + p {p — 1) 
2 
Multiplicirt man nun die gegebenen 
Gleichungen mit den Unbekannten x, y, 
z-, u, so hat man 20 Gleichungen, aus 
denen sich die 20 Grössen x 3 , xy' 1 . , . 
eliminiren lassen, und die Resultante 
wird vom 32sten Grade, wie dies sein 
muss. — Die Theorie der Functional-De 
terminante gibt aber noch zu einer neuen 
Gie Reihe von Betrachtungen Anlass. 
Seien die Functionen /",, f 2 . . . f 
selbst die partiellen Differenzialquotien- 
ten einer Function f, so ist: 
identische Relationen, genau so viel, als 
die Anzahl der Gleichungen die der Un 
bekannten übertrifft; aus diesen werden 
die x n , yganz durch die U elimi- 
nirt, und dann das eben gegebene Ver 
fahren eingeschlagen. 
Sind vier homogene Gleichungen mit 
vier Unbekannten gegeben, so würde 
man bei diesem Verfahren auf eine An 
zahl m -f- n Gleichungen mit m Unbe 
kannten kommen, die durch n + p Re 
lationen verbunden sind, so dass zwischen 
den letzteren noch p Relationen statt 
finden. 
Dann sind auf dem vorigen Wege 
zuerst die p, dann die n-\-p Relationen 
zu berücksichtigen. Man erhält die re 
ducirte Resultante in Form einer De 
terminante, dividirt durch den Quotien 
ten zweier andern u. s. w. Dies ist die 
einzig bekannte allgemeine Methode, die 
Resultante frei von fremden Factoren 
herzustellen. 
In dem speciellen Falle von vier ho 
mogenen Gleichungen zweiten Grades 
aber ergibt sich eine sehr einfache directe 
Lösung. 
Die Differenzialquotienten der Fun 
ctional - Determinante, sind in Bezug auf 
die Unbekannte vom dritten Grade in 
Bezug auf die Coefficienten der Glei 
chungen vom vierten. 
d*f 
P<1 
also auch: 
dx dx 
p q 
f -f . . 
pq qp 
In diesem Falle ist also die Functional- 
Determinante symmetrisch, kann definirt 
werden als die Determinante der zwei 
ten Differenzialquotienten von f und 
wird Hesse’sche Determinante 
genannt. 
Eine ihrer Haupteigenschaften ist fol- 
gonde: 
Findet eine lineare Tran sfor- 
mation statt, also setzt man in der 
Function f(x x „ . . . x ): 
1 v p 1’ p 2 w 
X <— a ?/, 4- ei w, *4- a , • -j— a y 
p p\ J 1 * pn"n 
so unterscheidet sich die Hcsse- 
sche Determinante der trans- 
formirten Function von der der 
gegebenennurdurcheinenFactor, 
der gleich dem Quadrat der De 
terminante A der a ist. 
Die letztere A wird gewöhnlich Trans 
formationsmodul genannt. 
Denn bezeichnen wir die beiden Hesse 
schen Determinanten bezüglich mit 
. und //,, s, so ist: 
fiy) fix) 
dy dy 
v q Xp 
¿Y 
tyq dx i rtl v + ty q () x 2 a 2 p + 
d*f 
4- T 4— a , 
^ dy dx np' 
also nach dem Multiplicationssatze: 
aber ebenso: 
N.. .=a(AX- + *!L. + . + JITA 
f(v) V'.’/1 '«1 »;/, ix. ‘ iy n 6xJ 
df _ df df df 
typ dxj a ip^ dx 2 (l 2 p öäT U n p ’ 
d»f __ d Y 
ty„ dx dx. dx 
P q 1 q 
1 p 
+ . . . + 
¿Y 
dx dx 
n q 
a 
np 
also: