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Substitution. 637 Substitution. 
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man: 
Verssch windet die Hessc’sch e Determinante der Function f 
identisch, so kann letztere durch eine lineare Substitution auf 
eine Function mit einer Veränderlichen weniger reducirt werden. 
Diese Bedingung ist nothwendig und ausreichend. 
Wir wollen aber jetzt voraussetzen, dass in der Unterdeterminante H ver 
schwindet. W egen der Gleichungen ; ? 
, f ql +H p f qt + • ' ' + H pn f f* — ° 
»„ f f ,+"r,f r q + ' ' ■ + H m fpn = 0 
hat man in jedem Falle : 
H : H H : . . . 
p i p 1 r l r 1 
j'pdx i 
also ist Hp g = 0, so ist //. ^ = 0 und daher auch, da: 
H = H ist, H =0. 
r q q r r s 
den gemeinschaft- 
Verschwinden identisch die Hesse’sche Determinanten und 
eine i h r er Unt e rd e tcr mi n an te n, so verschwinden sämmtliche ünter- 
nicht, muss p-Q 
determinanten. 
Nun ist noch: 
sdf df df 
dH Tr 'ii 'l 2 __ 'mm 
— // |_ }] L // 
dxj l l dx^ 1‘- dx^ n n dx^ ’ 
jenen Function 
n Constanten, 
f multiplici rt, 
also es verschwinden in diesem Falle für solche die Hesse’sche Determinante, 
auch die partiellen Differenzialquotienten so reducirt sich die Fläche auf eine 
der Hesse’schen Determinante nach den ebene Curve. 
Veränderlichen, mithin auch die Hesse 
sche Determinante der Hesse’schen De- 10) U eb er Di s er i min an t en. 
terminante, sie lässt sich auf eine Va 
ante zeigt an, 
n f eine lineare 
riable weniger reduciren. Also: In dem Folgenden sollen nur homo- 
Wenn die Hesse’sche Deter- gene algebraische Ausdrücke betrachtet 
minante und eine Unterdeter- werden, die als ,,Formen“ bezeichnet 
minante identisch Null sind, so werden. Eine Form gleich Null gesetzt, 
diungen : 
M, 
kann die Function durch lineare gibt eine Gleichung. Die Formen sind 
Substitution zwei Variablen we- nach ihrem Grade wie die Gleichungen 
niger erhalten quadratisch, cubisch . . ., je nach der 
Leicht ergibt sich die geometrische Be- Anzahl der Variablen, werden sie binär, 
deutung dieser Betrachtungen. Ver- ternar Ul s> w> g enannt - 
schwindet die Hesse’sche Determinante Dis eri mi nante nennt man die 
einer Curve oder Fläche identisch (ho- Resultante der gleich Null ge 
mogene Coordinaten vorausgesetzt), so setzten partiellen Differenzial 
lassen die betreffenden Gleichungen sich quotienten einer Form, 
durch lineare Transformantion, d. h. Coor- „ , , , . 
dinatenveränderung auf eine Variable we- ^ d,e ^™ vom nten Grade und hat 
niger reduciren. Also bei einer Curve re- P Veränderliche, so ist nach dem Obi- 
ducirt sich dieselbe auf ein Büschel grader S en die Discnm.nante vom Grade 
Linien, bei einer Fläche auf eine Kegel- p (m — 1)^ ', nämlich die Veränderlichen 
ndClie. ioilov oiolinn(T rlio vnm ( 1 'j foti (-Ji'O3o 
chwindet y L aus / 
J CUcl VjricHyilUilLl Ult V will 1 1 ItU Ul aUC 
Ueberträgt man diese Betrachtungen j s t, kommen in einem Grade vor, der 
aul Liniencoordinaten, (vgl. den Artikel: dem Product der Grade aller übrigen 
Reciprocität) so ergibt sich folgendes: .... , ~ l 
tt TT , 1 gleich ist, also vom Grade (n — 
Vers eh windet die Hesse sehe * llc Veränderlichen, also im obigen Grade. 
in T ai ™ inante e,ner Gleichung Ebenso folgt aus Abschnitt 6), dass, wenn 
n pl .: nieil . C v. 00r i inaten ’ (wenn t: man der Alten Potenz irgend einer Ver- 
;. t N vo ,' 61 °mo gen gemacit ^nderlichen x der Form f einen Coeffi- 
Punkt° -n a man cine g ra dlinige c j enten m itlndex k gibt, die Summe der 
1 V- ,. , Indices jedes Gliedes der Discriminante 
uen Liniencoordinaten entsprechen n—\ 
Plancoordinaten im Raume. Verschwindet m (m — 1) ' beträgt.