tution. 
Substitution. 
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Substitution. 
Ausdrücke ~ und 
dy 
in eine Form f(x, y) 
übergeht in F {g, y) 
nden höheren Diffe- 
f/2 
xy r substituirt 
oy dx 
^drücken sagt unsere 
y selbst nicht darin 
oben als Beispiele 
mg von Invarianten, 
graden Grade an 
sdrücke identisch, 
x L , y l , welche 
also: 
h x + ix x , y + lyt 
eich: 
jen, dass dieser 
vollzieht man die 
« = «I +ßy+yt, «i = «Si +ßh +yCi «. s. w. 
und setzt man in der Form f: g-\-kg x für g, so gibt dies dasselbe Resultat als 
wenn man erst x-\-Ix v für x setzt, und dann die Substitution für x und x^ voll 
zieht, denn es finden ja die Gleichungen : 
<*S + ß>l + Yt + K«ii+ßVi + yCi) = *iS+Ui) + ßi>l + hit)+y(t+ i Ci) 
statt. Diese Identität der Formen aber gilt auch für die Coefficienten der ein 
zelnen Potenzen von I, was zu beweisen war. 
Betrachtet man aber die Covariante: 
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d d \P 
+ ' J ‘S,+ z Tz+ ■■■) f 
als Function von y,, . . . und x, y . . . als Constante, so ist 
j e d e In v arian t e derselben eine Covariante von f, als Function 
von x, y . . . b etrachtet. 
Um zunächst einen speciellen Fall zu nehmen, untersuchen wir die Covariante: 
d n dV d 2 f 
x i 2 >—j + 2®^, -—-r- -f y, 2 , 
ox 2 ox dy dy 2 
welche sonach durch lineare Substitution für x, y, ® t , y v übergeht in: 
d*f „ d' f Da /• 
i.’5F + 2{ ' i ' + 
Transformiren wir aber nur z l und i/ t so erhält man: 
«l L 2 + 2bg l rj l + cyp. 
a, b, c sind hier solche Functionen von x, y, die durch lineare Substitution über 
gehen in: 
d*f d*f d*f 
dj* ’ dg dy ’ dp 
bei einer Transformation von y v allein erhält man aber, wie bereits im An 
fänge dieses Abschnitts angezeigt wurde: 
, , . rd*fdtf / d'Y VI 
«o-t» = «,(.,*, [ S . J 
»’f d>f 
Geht man nun durch Substitution für x und y zu r—, „ 
J dp og dy 
erhält man links: 
d 2 f d 2 f d*f 
’ dp 
über, so er- 
dg 2 dp d g dy* 
also der Ausdruck rechts: 
d*f ä 2 f ( \ 2 
dx 2 dy 2 \dxdy/ 
ist ein solcher, der durch Substitution für x und y in den ganz entsprechenden 
der transformirten Function abgesehen vom Factor («ißa — « 2 ßi) 2 übergeht, und 
somit eine Covariante von f. Allgemein gehe: 
/ d d \P. 
V l ^ + 2/l d^ + * • 7 f 
durch Transformation von x t , y v über in: 
y. n , n—l , 
ag v +tibg l + • • •, 
so ist jede Invariante der ersten Form nach der Definition nur um einen Factor 
verändert, wenn man die Coefficienten mit a, b, c vertauscht. In dieser Invariante 
gehen nun a, b, c durch Substitution für ® 4 , y, über in: 
d n f 
d n f 
dg n 1 dy