Substitution. 
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Substitution. 
eine Covariante derselben ist. 
Denn gehe {a 0 a, . . .) | {xy) n durch Substitution über in: 
{A 0 , A t . . .) (ft) Ä 
so geht: 
so geht: 
über in: 
über in: 
(«o«i • • •) I ( x y) n + i( x Vi ~ x iy) n 
(A 0 A l . . .) I (£»?)”+ A t (|— 
A t ist nur durch die Potenz des Transformationsmoduls von A unterschieden, da 
das letzte Glied eine Covariante ist. 
Nun gibt die Entwickelung vor der Transformation: 
Jede Invariante dieses Ausdrucks wird durch Transformation in eine gleiche 
Function der neuen Coefficienten verwandelt. — Diese Invariante kann aber aus 
der der ursprünglichen (nicht um A {xy t — yx v ) n vermehrten) Form gebildeten In 
variante J gebildet werden, indem man in letzterer a 0 , a l , . . vertauscht mit: 
, n— l 
«i - hi x i ’ 
n 
1 •> 
a 0 + А у 
auf diese Weise ergibt sich: 
d 
x iirr + • 
n n— 1 
.”*■ - y ' x 
In der transformirten Form treten nun die A entsprechenden Potenzen vonA, 
aul, und durch Vergleichung der einzelnen Glieder ergibt sich, dass dieselben nur 
um Potenzen des Transformationsmoduls von den durch Transformation gebildeten 
verschieden sind, also wie behauptet Covarianten sind. 
Diese Gattung von Covarianten wird auch als Evectanten be 
zeichnet. 
So z. B. hatte (abcd) | (xy) 3 die Invariante vom vierten Grade: 
a 2 d 2 -|- 4ae s +4db 3 — 36 5 c 2 — ßabcd 
(jede Function vom ungraden Grade hatte eine solche vom vierten Grade). Die 
entsprechende Evectante ist; 
(a 2 d + 2b 3 — dabc, 3b 2 c + Babd — 6ac 2 , 6b 1 d — Bbc 2 —3aed, 
Bbcd — 2c s — ad 2 ) (xy) 3 . 
Die Discriminante D einer binären Form war, wie oben gezeigt eine Invariante. 
Hat nun die Form einen quadratischen Factor (xy l —x l y) 2 , so 
lässt sich zeigen, dass die erste Evectante: 
eine Potenz dieses Factors, also gleich {xy l — x \.y) U ist. 
Denn setzt man xy i —x v y = rj, so verwandelt sich die Form in eine andere, 
welche von den beiden ersten Coefficienten a D a l frei ist. Jede Discriminante 
nimmt aber, wie gezeigt worden, die Gestalt an a ü <f + a^d’i a ls° die Differenzial 
quotienten nach a. l , n 3 . . , sind von derselben Gestalt, und verschwinden folglich 
gleichzeitig mit a 0 und a. ebenso der Differenzialquotient nach a., welcher die 
Gestalt hat: