Substitution. 
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Substitution. 
geht, wenn man X, F, Z mit 
d d 
— , — vertauscht. Eben so kann 
oy oz, 
d d d 
x, y, z mit » gy, ^vertauscht 
werden. 
Aus demselben Grunde gibt 
df df df 
die Substitution r—, —, für 
d x oy dz 
X, F, Z eine Covariante von f. 
Die Symbole B lassen sich nämlich 
auf zweierlei Art auffassen. Einerseits 
kann man, indem man sie in eine Form 
einsetzt, die Potenzen der Variablen x s , 
y 3 , x 2 y durch die entsprechenden Dif 
ferenzialquotienten . . . —■ 
^ dp’ dy* dp dy 
andererseits aber auch durch die Poten- 
dip da, 
zen von — , — ersetzen; in beiden Fäl- 
dy 
len sind nämlich diese Ausdrücke, wie 
sie aus B) entstehen, wie leicht zu se 
hen, mit denselben aus A, B, C . . . 
gebildeten Coefficienten behaftet. 
Beispiele. Der Gleichung eines 
Kegelschnittes entspricht die ternäre 
Form: 
also: 
f ^ (ß‘x~" r y) 
K = -%[(- ßi* + “iy)- 
Die Factoren von x und y in den letz 
ten Gleichungen bilden die Unterdeter 
minanten von («,/? 2 ), entsprechen also 
der reciproken Substitution, zugleich aber 
zeigen diese Gleichungen, dass wenn 
man x, y bezüglich mit y, — x ver 
tauscht die ursprüngliche Substitution 
stattgefunden hat. In diesem Falle also 
kann man setzen. 
X = y, Y = —x 
(dies Resultat war uns schon bekannt). 
Mit Hülfe des letzten Satzes kann man 
also z. B. aus der Form: 
f -z (ix J + 2 bxy -f- cy 2 
eine Covariante bilden, wenn man darin 
setzt: 
y = 
( ll 
dx ’ 
dies gibt: 
ax 2 -f aji/ 2 + ffjZ 1 + 2byz -f- 2b x zx 
4- 2 b 2 xy, 
deren reciprokem Kegelschnitte: 
(a x a 2 - b 2 ) X 1 + (a 2 a - bp) Y* 
+ (aa l -bp)Z' 2 +2(b l b. 2 - ab) YZ 
+ 2(b i b-a l b l )ZX+2(bb l -a 1 b i )XY. 
Da nun durch diese letzte Gleichung die 
Bedingung ausgesprochen ist, dass die 
Grade: 
Das Resultat führt indess auf f selbst 
zurück. 
Jetzt lässt sich auch beweisen, dass 
die Functionaldeterminante von f t , f 2 . .. 
eine Invariante dieser Ausdrücke sei, 
denn vollzieht man eine Substitution an 
x, y, z, so ersieht man wie oben gezeigt, 
dass diesem eine reciproke Substitution an 
xX -{- y F -j- zZ — 0 
den Kegelschnitt berührt, und diese letzte 
Form bei reciproker Substitution unver 
ändert bleibt, so ist die Gleichung des 
zweiten Kegelschnittes eine Contrava 
riante des ersten. Vertauscht man nun 
d d d 
X, F, Z mit -r-, -r-, s— , d. h. ersetzt 
ax oy dz 
man die Potenzen durch Differenzial 
quotienten und bezieht diese wieder auf 
die erste Gleichung: 
ax 1 + a x y* -f a 2 z 2 + . . ., 
so erhält man eine Invariante einer ter 
nären quadratischen Form, nämlich: 
aa l a 1 -f- 2bb l b 2 — ab* — a^bp — a 2 b 2 *. 
Bei binären Formen sei: 
x — “il ß 
y = ß a |+M, 
df df df df v df x 
ex' dy' dz’ dx ' dy 
entspricht. 
Die mit dem transformirten 
dx 
gebildete Determinante ist aber nach 
dem Multiplicationssatze gleich der ur 
sprünglichen in die reciproke Deter 
minante (A x B 2 , . welche eine Po 
tenz der ursprünglichen ist. 
Es soll jetzt der Satz verallgemeinert 
werden, welcher aussagt, dass 
(* 
n— I 
eine Covariante jeder Form ist, deren 
Invariante £ ist. 
Dieser lautet für mehrere Variablen: 
Ist £ eine Invariante der Form: