Substitution. 
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Substitution. 
und die Glieder der Reciproke, welche 
l, 0, 0 entsprechen, bezüglich : 
*i 3 , x \V\i x iZ t , 
also ist abgesehen von den gemeinschaft 
lichen Factor «j, X n zu ersetzen durch: 
(*** + «/ib + 2 t Z) * 
was zu beweisen war. 
Sind zwei singuläre Wurzeln vorhan 
den, so verschwinden alle ersten Diffe 
renziale, und dann ist die zweite Evec- 
tante eine Potenz von 
( x t X 1 + *iZ), (x 2 X-\-y 2 Y + z 2 Z), 
12) Differenzialgleichungen für 
die Invarianten. 
Unter dem Gewicht einer abgeleiteten 
Form verstehen wir wie oben die Index 
summe jedes Gliedes. 
Es lässt sich nun zeigen, dass 
das Gewicht jedes Gliedes der 
Covariante einer binären Form 
constant und gleich ist, 
wenn n der Grad der Form, v der 
der Invariante ist. 
Die ursprüngliche Form ist: 
n . n— i 
a 0 x + a t x y + . . ., 
so dass der Index mit der Potenz von 
y übereinstimmt, in die er multiplicirt ist. 
Vertauschen wir nun y mit cy, so ist 
dies eine lineare Substitution, welche die 
Invariante mit einer Potenz von c mul 
tiplicirt wieder herstellt c n , andererseits 
gilt dieser Substitution gleich eine Mul 
tiplication jedes Coefficienten mit derje 
nigen Potenz von c, die seinem Index 
entspricht. Es ist also die Summe der 
Indices jedes Gliedes der Invariante gleich 
m. also constaut. Um m zu berechnen, 
bemerken wir, dass wenn man x und y 
vertauscht, dies ebenfalls eine lineare 
Substitution mit Modul — 1 ist, welche 
also nur das Zeichen der Invariante än 
dert, andererseits wird hierbei jeder Coef 
ficient a g durch a n _ ersetzt. Sind 
also s 2 die Indices eines Gliedes der 
Invariante, so ist: 
S I + S 2 + . . . = tl — S, +M — Sj + . .. 
= nv - s t —s 2 + ... 
wenn v der Grad der Invariante ist, also: 
s i + s 2 + . . . = — 
wie vorausgesagt wurde. 
Es können also n und v nicht beide 
ungrade sein. 
Dies Gesetz gestattet, sogleich die 
Buchstabenfactoren irgend einer Inva 
riante zu bilden, abgesehen von den 
Zahlencoefficienten. 
Z. B. Für eine cubische Form ist das 
Gewicht der Invariante vierter Ordnung 
gleich 6, die einzelnen Glieder also: 
n 0 2 a 3 2 , a 0 a t a 2 a 3 , a t 3 a 3 , 
a 0 a 2 s , a t 2 a. 2 . 
Die Anzahl der Glieder ist gleich der 
Anzahl der Arten, auf welche \nv in 
eine Summe von v Zahlen aus der Reihe 
0, 1, 2 . . . n zerlegt werden kann. 
Aehnliche Betrachtungen sind jetzt für 
die Covarianten anzustellen. 
Wird in der Form y mit py vertauscht, 
so ist jeder Coefficient in der Covariante 
mit einer dem Index entsprechenden 
Potenz von y multiplicirt, vertauscht man 
andererseits in der Covariante y mit py, 
so dürfen sich beide Resultate immer 
nur um eine Potenz von y unterscheiden. 
Diese zweite Aenderung ist aber von dem 
selben Erfolge, als wenn man in der ur 
sprünglichen Covariante gleichzeitig die 
Coefficienten mit der dem Index entspre 
chenden Potenz von q multiplicirt, und 
zugleich y durch p dividirt oder was das 
selbe ist x mit y multiplicirt. 
Ist also ein Glied der Covariante: 
u p 
s l s 2 J 
so ist: 
i+»*+- • • — y Bl i, 
also s l + s. 2 + . . . + constant. 
Vertauschen wir dann x mit y so wird 
wie oben: 
s i + s 2 + • • • + i“ ~ n \ ~ ¡- l + n ~ s i 
+ n — s, + . . . 
Wenn n l der Grad der Covariante in 
Bezug auf ihre Veränderliche ist, mithin, 
wenn v der Grad derselben in Bezug auf 
die Coefficienten ist: 
s i + S 1 +■••+(“ = i( n i + nt/ )- 
Dies ist das Gewicht der Covariante, 
wenn man mit diesem Namen die Summe 
der Indices eines Gliedes, vermehrt um 
den Exponenten, welchen x in diesem 
Gliede hat, bezeichnet. 
Das Gewicht der in Bezug auf Veränder 
liche und Coefficienten quadratischen Co 
variante einer cubischen Form ist somit; 
¿(2 + 6) = 4,