Substitution. 
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Substitution. 
das mit x 2 xnultiplicirte Glied hat dann 
die Indexsumme 2. Es besteht also aus 
den Theilen; 
a 0 a 2 und n t 2 , 
das mit xy multiplicirte hat die Index 
summe 3, also man hat entsprechend: 
« 1 a 2 und a 0 a 3 
und in y 2 ist multiplicirt: 
a l a 3 und 
Es bleibt nun noch übrig, die Coeffi- 
cienten zu bestimmen. 
Jede Invariante genügt ge 
wissen Differenzialgleichngen. 
Sei gegeben die Form : 
K> «n «i • • •) I 
Vertauschen wir x mit x + ky, so ist 
der Modul: 
also die Invariante unverändert, die neue 
Form aber ist: 
(«o» ff 2 +2^«L + ^ 2 « 0 
+ ■••)! ( x y) n 
wie sich durch Berechnung ergibt. 
In der Invariante £, welche dadurch 
die Gestalt annimrnt: 
£ + k 
muss die Zunahme verschwinden. Es 
ist also: 
Dies ist die gesuchte Differenzialgleichung. Macht man aber die Substitution 
y + /.ix für y, so kommt in derselben Weise. 
2) + + . . .=0. 
Wenn die Form ohne Differenzialquotienten geschrieben ist, so werden, wie so 
gleich ersichtlich, diese Gleichungen: 
la) 
2 a) 
nn a 
«i 
ò£ 
da j 
4" { n 1) « 1 
A 
da i 
2a ^^[ + 
3 «3 
d,t 2 
+ • . . = o 
+ . . . = 0. 
Es sind diese beide Gleichungen aber auch ausreichende Be 
dingung dafür, dass ein Ausdruck £ eine Invariante sei. 
Zunächst ist klar, dass er eine solche ist, wenn auch die mit k 2 , k 3 . . ., 
¡u 2 , fu. 3 . . . multiplicirten Zunahmen von £ verschwinden, denn da man die Sub 
stitutionen nach einander aufstellen kann, so vertreten die hier gegebenen x + ky 
für x, y -j- ¡ux für y alle möglichen. Dass nun, wenn unsere Gleichung stattfinden, 
auch die andern Coefficientcn zu finden sind, kann man folgendermaassen darthun. 
Der Coefficient von k 2 kann geschrieben werden: 
In dem Symbol, ■welches das zweite Glied bildet, sind die explicite stehenden 
« 0 , a t . . . nicht zu differenziiren. Wenn man aber das Symbol so versteht, als 
fände das letztere doch statt, so kommen noch die im ersten Gliede enthaltenen 
Glieder hinzu, und man kann also für die Summe schreiben, wenn a 0 , a v . . . 
explicite und implicite differenziirt wird: 
Dieser Ausdruck aber verschwindet wegen Gleichung 1). Gleiches findet mit 
den andern Gliedern statt. 
Die Gleichungen 1) und 2) definiren also die Invariante. Es reicht indess 
schon eine hin, wenn man berücksichtigt, dass bei der Vertauschung von a s mit