Substitution. 
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Substitution. 
was mit dem Coefficienten von x 2 P m y Vl 
in der gegebenen Form gleichbedeu 
tend ist. 
Für Invarianten vierter Ordnung erhält 
man, da vier Ziffern nöthig sind: 
W 23 5 W 4i J 12“ 1 24 ß1 
1 kommt z. B. « -j- 4 + « t mal vor; also: 
«4-4+«! =«+/S+/9 l = /S + )/-j-rt l 
= y + 4 + ß, — n, 
hieraus ergibt sich: 
ß = n i = ßu « = y- 
Also das Symbol: 
(12 • 34) p (13-24)? (14- 23) r 
p q r — n. 
Von diesen Zahlen kann eine Null sein. 
Die Discriminante einer cubischen Form 
ist z. B.: 
(12 • 34) 2 (13 • 24). 
Aus diesen Prinzipien lässt sich leicht 
das von Hermite herrührende Reciproci- 
tätsgesetz beweisen. Dasselbe lautet: 
Die Anzahl der Invarianten 
nten Grades einer binären Form 
vom p ten Grade ist gleich der 
Anzahl der Invarianten p t e n 
Grades einer Form vom nten 
Grade. 
Nach einem im 11. Abschnitte gege 
benen Satz, ist jede symmetrische Func 
tion der Wm'zeldifferenzen eine Inva 
riante, deren Glieder jede Wurzel eine 
gleiche Anzahl von Malen enthalten. 
Man hat also für Invarianten erstens 
das Symbol: 
12“ 23 6 34 c . . . 
Ist dies eine Invariante jpten Grades 
einer Form n ten Grades, so kommt jede 
Ziffer p mal vor und ist nfach im Sym 
bole enthalten. 
Es ist aber nach dem Obigen eine 
Invarianten-Darstellung auch 
2 {x y - x 9 ) a (x } - x s ) h («., - * 4 ) C . . , 
sie ergibt sich aus dem Symbol durch 
Vertauschen der Zahlen mit Wurzeldif 
ferenzen der Form. 
Diese Invariante gehört dann zu einer 
Form pten Grades, da nach der Vor 
aussetzung p Wurzeln vorhanden sind 
(soviel als Indices) und ist vom Grade n 
in den Coefficienten. 
Denn es ist bewiesen, dass bei der 
Invariante 7iten Grades jede Ziffer des 
Symboles n mal vorkommt, und aus die 
sem Grunde kommt jede Wurzel der 
Differenz einmal im »iten Grade vor 
und in keinem höheren. 
Nun ist aber bekanntlich der Grad 
einer symmetrischen Function der Wur 
zeln einer Gleichung in den Coefficien 
ten gleich der höchsten darin vorkom 
menden Potenz einer Wurzel. 
Somit ist unser Satz bewiesen. 
Die quadratische Form hat z. B. nur 
eine unabhängige Invariante (« t — ß 2 ) 2 , 
jede andere nimmt die Form — 
an. Somit habfen wir nur Formen von 
gradem Grade und deren Form ist: 
Die Invarianten der cubischen Formen 
haben die Gestalt der Discriminante 
(«i -«-iY («s -«a) 2 («3-«i) 2 > 
oder der Potenzen davon; der Grad der 
Discriminante ist also 4. Es haben also 
nur Formen vom Grade 4»« cubische 
Invarianten, und deren Form ist: 
(12 • 23 • 31) 2m . 
Das Hermite’sche Gesetz gilt 
auch für Covarianten. 
Denn wenn in dem Symbole; 
i2“ 23 ß W 
p Ziffern verkommen, 1 im Grade a, 
2 im Grade b, u. s. w,, so ist der Grad 
der Covariante: 
n — a -j- n — h 4- . . . 
wenn die gegebene Form den Grad n 
hat. Dem entspricht nun die symme 
trische Function: 
2(x^- x t ) a (x s — x s ) ß (x 2 — xj r 
, -M—a , x n—b . 
{x -xj (x - x 2 ) 4- • • •; 
sie ist, wie in Abschnitt 11) gezeigt, 
Covariante einer Form pten Grades, 
x lt x 2 ... sind die Wurzeln derselben, 
jede also kommt im Grade n vor, wel 
ches der Grad der Covariante ist. 
Die Veränderlichen aber kommen im 
Grade 
n — a + n — b+ ... 
wie bei der ursprünglichen Covariante vor. 
Die einzigen Covarianten einer qua 
dratischen Form sind die Producte der 
Potenzen derselben mit denen der Dis- 
criminanten, also: 
(*i -x t )' V (x~ x i) q (*-*«) ? 
ihre Grade in den Coefficienten 2p 4- q 
in den Veränderlichen 2q, also: 
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