Substitution. 
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Substitution. 
Jede Form vom Grade 2p + 7 
hat eine Covariante zweiten Gra 
des in den C oeff i eien t en, 2^ten 
Grades in den Veränderlichen, 
also ihr Symbol ist: 
12^. 
Diese Bezeichnung gibt aber auch zu 
Transformationen und Vergleichungen 
der verschiedenen Arten von Invarianten 
und Covarianten Anlass. 
Bezeichnet man nämlich das Symbol: 
mit dem Zeichen D 1 , so ist: 
1) D v 23 + 3T+Z) 3 12 = 0. 
Es verschwinden nämlich die Coefficien- 
ten von x und y einzeln, wie man so 
gleich verificiren kann. 
Hieraus folgt: 
D,23 = fl 2 i3 —ß 3 12, 
oder ins Quadrat erhoben; 
2) 2D 2 D 3 12 • 13 = H 2 2 13 2 + D 3 2 12 2 
- JV23 2 
Hier sind 17, i/ 3 U 3 im Allgemeinen 
verschieden. Wenn aber i/ t U 2 U 3 gleich 
werden, so sind die Indices nachher zu 
unterdrücken, dann werden die drei Glie 
der rechts gleich, also: 
D 3 2 12 a = 2D, D 3 12 • 13. 
Die mit D a bezeichnete Operation auf 
eine homogene Function angewendet, be 
haftet dieselbe nur mit einem numeri 
schen Factor, da 
dU dU „ rr 
* ^ +yr y = nU 
d x 
ist. Dieser Factor auf der linken Seite 
istii(n —1), da zwei Differenziationen 
dieselbe Grösse U 3 treffen. Rechts tref 
fen sie verschiedene Functionen, die we 
gen 12, 13 schon differenziirt sind, der 
Factor ist also (n —l) 2 . Führt man 
also noch die Operationen 12 . . . aus, 
so kommt: 
nU 
rd*U d 2 U 
Ldx 2 d y 2 
0 o* U dU dU o»U /¿<7\n 
d x dy d x d y d y 2 \dx ) J' 
Es zeigt sich hieraus auch, dass die Verminderung der Ziffern des Symbols, 
z. B. wenn, wie hier rechts 12 • 13, links 12 2 steht, darauf hindeutet, dass V ein 
Factor der abgeleiteten Form ist. Denn das Symbol 12 2 trifft U 3 gar nicht, so 
dass dasselbe als Factor erscheint. 
Es lässt sich aber ganz allgemein nachweisen, dass für ungrades m 
12 m -13 = q . 12 m + 1 , 
wo q ein numerischer Factor ist. Denn die Gleichung 1) gibt mit 12 W multiplicirt: 
ö, 12 m 23 + D 7 W n . 31 + D s i2 m+l =0, 
also: 
D 3 l2 m+1 = 2D„12 W . 13. 
Endlich kann jedes Symbol so transformirt werden, dass die höchste Potenz 
irgend eines Factors 12 einen graden Exponenten hat. Denn die Vertauschung 
der Ziffern 1 und 2 ändert nichts in der Bedeutung des Symbols. Es ist also: 
I2 2 ” +1 = - n* m+l r , = { i2 Jm+1 (, ;i 
wo 7,, (ft auch Operationszeichen sind. Mit Hülfe der Gleichung 1) kann man 
aber 7, — 7 2 immer so transformiren, dass es durch 12 theilbar ist. Dies wird 
ein Beispiel sogleich klar machen. 
Es soll 12 3 12* 14 so transformirt werden, dass 12 als Factor vorkommt. 
Es ist: 
2D 2 3 12 3 . 13 2 . 14 — 2D, 3 21 3 . 23 2 24 = 12 3 (ö 2 3 13 2 ii-D, 3 ^ 2 24). 
In die Klammer setzen wir nun zu Folge des Satzes 1) ;