Substitution.
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Substitution.
Aus dem eben für die Hesse’sche Determinante der Hesse’schen Determinante
gegebenen Ausdruck lässt sich zeigen, dass dieselbe die Form:
JH+kLU
annimmt. Zu dem Ende zeigt man, dass 12 2 13 2 34 2 u. s. w. sich auf diese
Form bringen lässt.
Wir beweisen dies einzeln für die drei Glieder:
12 2 13 2 34 2 , 12 2 34 2 13 24 und 13 14 12 2 34 2 .
Was das erste anbetrifft, so bildet man das Product von:
2D 2 D 3 12 13 = D, 2 i2 2 + D,. 2 13 2 - D, 2 23 2
2 D 2 D 3 24 34 = Z> 3 2 24 2 + D 3 5 34 2 -D 4 2 23 2
Dies gibt;
4D 2 2 D s 2 12 13 24 34 14 2 -2D 3 4 12 2 24 2 5T- + Z> 1 3 /J 4 2 23 4 14 2
-2D 2 2 D 4 2 14 2 l3 2 23 2 .
Die Gleichung 3) aber gibt:
2 • li 2 (12 13 24 34) = i4 2 (12 2 34 2 + i3 2 24 2 - 14 2 23 2 ),
also die linke Seite der vorletzten Gleichung wird:
4D 2 2 D 3 2 12 2 T4 2 34 2 -2D 2 2 D 3 2 14 4 23 2
und dadurch erhält man:
6D 2 2 Z) 3 2 12 2 li 2 34 2 = 3D 2 2 D 3 2 14 4 23 2 + 2D 3 4 12 2 24 2 il 2
oder:
6 (n — 2) (« — 3) 12 2 14 2 34 2 =: 3 (n - 2) (n - 3) HJ + 2« (« - 1) LU.
Dies ist die verlangte Form.
Für das zweite Glied bilden wir das Product:
12 2
— 2D i Z) 4 13 li=D l 2 34 2 + D 4 2 l3 2 -D 3 2 i4 2
2D 2 Z) 8 24 34=D 2 2 34 2 + D 3 2 24 2 -Z) 4 2 23 2 ,
es ergibt sich:
-4D 4 D 2 D 3 D t 12* 34 2 13 24 =D l 2 D, 2 12 2 34 2 +2D 3 2 D 4 2 12 2 13 2 24 2
-2D 4 4 12 2 23 2 31 2
und wenn man den Werth von 12 2 13 2 24 2 einführt:
— 12 (« — 3) s 12 2 34 2 13 24 = 6 (n — 2) 2 (n - 3) JH - in (n - 1) (n-2)LU.
Für das dritte Glied endlich setzen wir aus Gleichung 2) für 13 14 ein,
dies gibt:
2D 3 Z) 4 12 2 34 2 13 li = 2D 4 2 I2 2 34 2 13 2 -D, 3 12 2 34 2
und wenn man für 12 2 34 2 13 2 einsetzt:
6 (n — 3) 2 12 2 3l 2 13 14 = 2n(n-V)LU.
Es sollen aber diese Betrachtungen jetzt auf Formen von mehr als zwei
Variablen erweitert werden. Sind
x l y l z 1 , ^2/2*2) a 's2/3 2 3
Reihen von Veränderlichen, so ist die Determinante:
*1 2G z i
x i 2/a 2 a
x i 2/s 2 3
vermöge des Multiplicationstheoremseineinvariante; daraus kann gebildet werden
das Symbol:
