Substitution. 
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Substiuttion. 
<> u u 
ist £ die Substitution - f- r f- r— oder 4 4-5 + 6 auszuführen und an 456 2 
<>x b äx b ox 6 
zu operiren. 
Da hier die Differenziale von höherer als fünfter Ordnung zu unterdrücken 
sind, so ergibt sieh: 
T = 123 412 523 63l 456 2 . 
Es kann jetzt die Covariante: 
/fl 2 U ÒHJ 
\(5 y 2 ò j 2 
d*U \ 
dy dz/ 
d*H 
d x' À 
wo U eine ternäre cubischc Form, // ihre Hesse’sche Determinante ist, in 
die Form US gebracht weiden, wo S — 123 124 234 314 ist. In 112 2 wird 
nämlich für £ die Substitution 4 + 5+6 gemacht, und die Substitution an 456 2 
vollzogen. Unterdrückt man dann alle Glieder, in denen der Grad einer Ziffer- 
höher als 3 ist, so erhält man: 
124 125 456 2 oder 123 2 145 245. 
Nun multiplicirt man die Identitäten : 
123 145 = 124135-125134 
123 244 = 124 235-125 234 
Dies gibt: 
123 2 145 245 = 2(124 125 134 235). 
Die Gleichung 
145 • 245 = D, 235 + D 2 315 + D 3 125 
wird mit 
124 134 235 
multiplicirt. So erhält man : 
D 5 123 124 134 235= /J l 124 234 235 2 + 2D 3 124 125 134 235, 
oder da die beiden letzten Glieder identisch sind: 
(» - 1) 123 124 134 235 = 2 (« - 1) 123 2 145 245. 
Endlich multiplicirt man: 
234 = T) 2 345 +• D s 425 + IJ, 235 
mit 
123 124 134. 
Dies gibt: 
D b 123 124 234 134 = 30, 123 124 134 235, 
d. h.: 
nS V - 3 (« - 2) 123 124 134 235, 
also : 
6 (n - 2) 2 123 2 145 245 = n (« — 1) S U 
was zu beweisen war. 
14) Von den canonischen Formen. 
Da die Invarianten und Covarianten einer Form bei jeder linearen Substitu 
tionen dieselben sind, so kommt es darauf an, die Form durch irgend eine Sub 
stitution auf ihre einfachste Gestalt zu bringen. Diese Form wird analog der 
einfachsten Gestalt des in den elliptischen Integralen vorkommenden biquadra- 
tischen Ausdrucks canonische Form genannt. 
Ausnahme Fälle abgerechnet muss jede dem Grade und der Anzahl der Va 
riablen nach gegebene Form auf eine solche reducirt werden können. 
Ob eine solche wirklich allgemein ist, kann daher durch die Anzahl der darin 
möglichen Constanten ermittelt werden. So z. B. ist: + F 3 die canonische 
Form einer binären cubischen Form, da eine solche vier Constanten enthält, und 
wenn man: