Substitution. 
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Substitution. 
X = ax + ßy, Y — yx -f- Jy 
setzt, so müssen ebenfalls vier in unsere 
Form eingehen. 
Da eine ternäre cubische Form zehn 
Constanten enthält, so ist: 
' x 3 + y 3 + z s + Gmxyz 
eine canonische Form dafür. 
Die binäre quadratische Form enthält 
drei Constanten, also kann sie auf un 
endlich viel Arten auf die Form 
x 2 + y 2 
gebracht werden, weil darin vier Con 
stanten eingehen. Ueberhaupt lässt sich 
aus diesem Gruude eine quadratische 
Form von beliebig viel Variablen auf 
unendlich viel Arten in eine Summe 
und Differenz von Quadraten verwandeln. 
Indess ist hierbei die Anzahl der posi 
tiven und der negativen Quadrate con- 
stant. — Denn Hesse sich für eine Form 
etwa schreiben; 
X 2 + Y 2 - Z 2 = U 2 -f V 2 -f W 2 , 
so wäre auch: 
X 2 + Y 2 = V 2 + V 2 + W 2 + Z 2 . 
Nun kann man durch lineare Substitution 
U, V, W in X, Y, Z ausdrücken; für 
X = Y = 0 käme dann: 
y 2 z 2 + yi 2 z*+y 2 2 z 2 + z* = o 
was unmöglich ist. Man sieht, wie diese 
Beweisführung für beliebig viel Varia 
blen gilt. 
Jede binäre Form vom Grade 
2m — 1 lässt sich auf eine Summe 
von «Potenzen vomGrade 2m — 1 
bringen. 
Denn die Anzahl der Constanten einer 
solchen Form ist gleich 2 m, und soviel ge 
hen in die Potenzsumme ebenfalls ein. 
Dies Verfahren selbst lässt sich fol- 
gendermaassen ableiten. Sei 
1J {a b c d . . .) ( (x yY n = 
die gegebene Form. 
Entwickelt man nun die Determinante: 
2) 
ax + by, 
bx+cy, 
cx + dy, 
bx + cy, 
cx + dy, 
dx + ey, 
+ v 
cx + dy . . . 
dx + e y ... 
ex + fy . . . 
+ 
so erhält man eine homogene Function n ten Grades, die also in n Factoren zer 
fällt. Es wird behauptet, dass u, v, w . . . diese Factoren sind. 
Denn setzt man 
u = Ix + my, v — l v x + m v y, ic = l 2 x + m 2 y 
in Gleichung 1) und differenziirt 2/i —2mal nach x, so kommt: 
2n—2 
ax -f- by — l u + Q 
+ • 
/..v, I ,2m— 3 , , 2M — 3 , 
bx+cy=.l mu + l i m^v + 
Die Determinante 2) hat also auch den Werth: 
,2m—2 , , 2M- 
l u + I v 
. ,2M— 3 , , 2M — 3 
+ . . ., t mu + l v MijV -)-••• 
,2M — 3 a , -TI — 3 | 
L mu+l l m v v + 
,2m—-1 , , , 2M—4 - . 
I m 2 u + l l m, J r -f . . . 
Hier sind die Coefficienten z. B. von u proportional mit 
,M— 1 ,M— 2 « — So 
l , l TH, l Ml 2 , . . 
Zerlegt man nun die Determinante in Partial-Determinanten, die aus den ein 
zelnen Gliedern der ersteren gebildet sind, so unterscheiden sich in allen die 
zweimal u, oder v .. . enthaltenden zwei Reihen nur um einen Factor, verschwinden 
also. Es bleibt somit nur die mit dem Product u v ic . . . multiplicirte Deter