Substitution. 
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Substitution. 
minante übrig. Wenn man also die Determinante 2) in n lineare Factoren zer 
legt, so können diese nur durch constante Coefficienten sich von u, v, w . . . 
unterscheiden, man kann also setzen: 
{a b c . . .) I {xxj)- n ~ i ■=. A{x + + B(x+{iy)- n ~ 1 
■4* ^ v y) + • . . 
A, /u, v . . , ergehen sich, wenn man die Determinante 2) gleich Null setzt, 
A, B, C . , . durch Coefficienten-Vergleichung auf beiden Seiten. 
Die Determinante 2) offenbar, eine Covariante der Form, wird wegen ihres 
Gebrauchs „Canonizante“ genannt. Sie kann aber auch auf die Gestalt gebracht 
werden: 
a b c . . . h 
b c d . . . i 
Dies lässt sich so beweisen: Multiplicirt man diese letztere Determinante mit: 
1 0 0 0 ... 0 0 
x y 0 0 ... 0 0 
0 x y 0 . . . 0 0 
so kommt : 
0 0 0 0 . . . x y 
y n o 0 0 
0 ax + by bx-\- cy cx -\- dy ... 
0 bx + cy cx + dy dx -f- ey . . . 
Durch Division mit y n erhält man daraus die Form 2). 
Sei jetzt die Form vom graden Grade 2«. Sie enthält 2« + l Constantem 
Auf eine Summe von n Potenzen ist sie also im Allgemeinen nicht zu bringen, 
und bei «-f-1 Potenzen hat man eine Constante mehr, also geschieht diese Re- 
duction auf unendlich viel Arten. Suchen wir jetzt die Bedingung, unter welcher 
eine Reduction auf eine Summe von n Grössen von der 2nten Potenz möglich 
ist. Sei z. B. die Form vom vierten Grade. Soll diese die Form m* + u* an 
nehmen, so setzt man: 
u = Ix -f- my, v = l v x + m t y 
und bildet von der ursprünglichen und der reducirten Form alle vierten Differen 
zialquotienten : 
a — b = l 3 m — l l 3 m l . 
Bildet man aus den Gliedern rechts die Determinante, so 
Determinanten mit proportionalen Reihen, verschwindet 
ist also: 
a b c 
b c d 
c d c 
zerfällt diese in Theil- 
also. Die Bedingung 
und allgemein für eine Form 2«ten Grades: