Substitution. 
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Substitution. 
15) Besondere Untersuchung binärer Formen. 
Es sollen hier diejenigen Invarianten und Covarianten binärer Formen, die 
am häufigsten Vorkommen, behandelt werden. 
I. Eine quadratische Form: 
(abc) | (xy) 2 
hat nur eine unabhängige Invariante, die Discriminante. 
ac — 6 2 , 
alle anderen sind Potenzen davon. Dies ist schon im Ilten Abschnitte gezeigt 
worden. Die Form gibt, geometrisch betrachtet, wenn man y — 1 setzt, zwei 
Punkte in der Axe der x, das Verschwinden der Discriminante bedeutet das Zu 
sammenfallen der Punkte. 
II Seien jetzt zwei quadratische Formen gegeben: 
{abc) | (xy) 2 und (a'b'c') | (xy) 2 . 
Sie haben eine Invariante: 
12 2 = ac' a'c — 2bb\ 
Verschwindet sie, so sind die vier den Formen entsprechenden Punkte harmonisch. 
Contravariante ist; 
ax-\-by, bx-\-cy 
— x 2 , xy, — y 2 
12 = 
a'x 4- b'y, b'x -j- c'y 
c, b, a 
c', b' a' 
Es ist dies die Functional-Determinante. Verschwindet sie, so findet Involution 
statt. — Die Resultante ist: 
(ac' -a'c) 2 + 4(ba' -h'a) (bc'-b'c) 
Boole bringt sie auf die Form: 
(ac' + a'c - 2hb'Y -4(«c - b 2 ) (aV-i'*), 
wo alle drei Theile Invarianten sind. Dies findet man, wenn man von: 
(abc) J (xy) 2 -f-1 (a'b'c') (xy) 2 
die Discriminante bildet. Sie ist: 
(a + ka') (c + kc')-(b + kb') 2 
und diese nach Potenzen von k ordnet, und wieder die Discriminante nimmt. 
III Die cubische Form : 
(abcd) | (xy) 2 
hat als Invariante nur die Discriminante: 
a 2 d 2 c 3 -|-4di 3 — Bb‘c 2 — ßabcd. 
Die Hesse’sche Determinante ist: 
12* = (ac -f- b 2 ) x 2 + ( a d — bc) xy \ (hd — c 2 ) y 2 . 
Sie hat mit der Form die Discriminante gemein. 
Sind x 2 , £3 Wurzeln der gegebenen Form, so fanden wir für die Hesse- 
sche Determinante noch; 
2(x- x 2 y (r 4 -® s ) 2 . 
Es findet aber auch eine cubische Covariante statt, es ist dies die Evectante 
der Discriminante: 
12 2 13 = (a 2 d -f- 2 b 3 — 3 abc) x 3 -j- 3 (b 2 c + abd — 2ac 2 ) x 2 y 
+ 3(2b 2 d — bc 2 — aed) xy 2 -}-(3bed — ad 2 — 2c s ) y 3 . 
Ihre geometrische Bedeutung ist folgende : 
„Wenn für jedes der drei durch die Form dargestellten Elemente das con- 
jugirt harmonische in Bezug auf die beiden andern bestimmt wird, so sind diese 
drei durch die cubische Covariante gegeben.