Substitution. 
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Substitution. 
In der vereinfachten Gestalt: 
xy (® + y)> 
wo 
a~ d — 0, h = c = 1 
ist, erhält man nämlich x — y als Factor der Covariante, und hieraus folgt unser 
Satz allgemein, da die harmonische Relation nicht durch lineare Transformation 
gestört wird. 
Als Function der Wurzeln ergibt sich die cubische Covariante. 
[(2x t -x 2 — x 3 )x + {2x 2 x 3 -x,x 2 — x^y] 
[{2x 2 — x 3 -x l )x4-(2x 3 x 1 -x 2 x 3 -XtXjy] 
[(2x 3 - x i -x. 1 )x + {2x l x 2 — x 3 x l — x 3 x 1 )y\ 
denn die Theorie der harmonischen Theüung gibt bei vier Elementen: 
x, x t , x 2 , x 3 
die Relation: 
x L — x x L — x 2 x l — x s ’ 
also : 
(2x t — x 2 — x s ) x= x L x 2 -(-x L x 3 — 2x. i x 3 . 
Es lässt sich aber diese Form auch durch Benutzung der symmetrischen 
Functionen der Wurzeln finden. 
Wendet man die canonische Form: 
U — ax 3 + dy 3 
an, so erhält man für die Discriminante: 
D — a*d 2 , 
für die Hesse’sche Determinante: 
H = ad xy 
und für die cubische Covariante: 
C = ad (ax 3 — dy 3 ). 
Leicht zeigt man, dass die Discriminante von C gleich D 3 —a 6 d 6 ist, auch lässt 
sich leicht die von Cayley herrührende Gleichung verifieiren: 
C 3 - DU 2 = - 4U 3 . 
Mit Hülfe derselben kann man die linearen Factoren von U finden, also die 
cubischen Gleichungen auflösen. Denn es ist hiernach: 
C 2 — D W 2 
ein vollkommener Cubus, somit auch jeder seiner Factoren : 
c+uV~z, c-uVz. 
In der That sind deren canonische Formen; 
2a 2 dx 3 , 2 ad 2 y 3 . 
Nun ist: 
i i 
a*x d^y 
ein Factor der canonischen Form, also muss der der allgemeinen Form durch: 
{UfD + C)* + (J0yD-C$ 
gegeben sein, eine lineare Function, die gleichzeitig mit U versclnvindet. 
Setzt man z. B. 
U = 4:x 3 -(-9x 2 +18x4-17, 
so kommt: 
D = 1600, C = HO« 3 — 90a 2 y — 680xy 2 — 670y 3 
V Y D + C = 10(3x4-y) 3 , U]/D-C=b0{x + 3y) 3 
also die linearen Factoren der Form haben die Gestalt: 
3 _ 
3x 4- y 4- (x4-3y)l/5.