Substitution. 
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Substitution. 
IV. Für die Form vierten Grades: 
(abcde) | (xy) 1 
fanden wir die beiden Invarianten: 
S = ae — 4ibd 3c 2 
T = ace -f- 2hcd — ad 2 — eb 2 — c 3 . 
Nimmt man die canonische Form : 
x 4 -\-Gmx 2 y 2 + ^ 4 , 
so werden dieselben: 
<S = 1 + 3»t 2 , T — m (1 — in 2 ), 
Führt man die Wurzeln ein, so ist: 
S = 2{x, -x 2 ) 2 (Xs-Xt) 2 
f — JZ (xy ^ü) 2 (*s -^i) 2 i x i) (. x i x i) 
= ~ [(*"1 x a) ( x s *^4) (*1 x s) ( x 2 ^4)] 
[(•^i x s) ( X * ®«) 0^1 *4) ( x i *,)] 
• ( X 2~ X 3 ) - ( X l - X i) ( x 3~ x *)]• 
Daraus ergibt sich, dass wenn T verschwindet, die Elemente x t , x 3 , x x , x t har 
monisch sind. 
Ist M der Modul der Transformation, so geht über; 
S in M* S', T in M e T\ 
also das Verhältnis; 
f* 
ist absolut unveränderlich. Sylvester hat gezeigt, dass jede andere Invariante eine 
rationale Function dieser beiden ist. 
Die Discriminante z. B. ist: 
D — [(*1 — «j) 0'2 — *3) («3 -«4) (*4 — «l) («l — ®s) -r 4 )] 2 = S 3 -27 T 2 , 
und für die canonische Form: 
D = (1 — 3 m’ 1 ) 2 . 
Die Hesse’sche Determinante der biquadratischen Form ist: 
(■ac — b 2 ) x* + 2 (ad — bc) x 3 y + (ac + 2 6d—3c 2 ) x 2 y 2 + 2(he—cd) xy 3 -f- (ce—d 2 ) y 4 
für die canonische Form: 
m (x 4 +i/ 4 ) + (1 — 3»» 2 ) x 2 y'. 
Mit Hülfe der Werthe von S und T lässt sich die Form selbst leicht auf 
ihre canonische Form bringen. Denn wegen : 
S = 1 + 3m 2 , T = m(l — m 2 ) 
ist: 
A) 4i« s — mS + T = 0, 
eine Gleichung, welche m gibt. — Aus den Werthen: 
xi + y x + 6mx 1 y 2 — U 
m (as 4 +2/ 4 ) + (1 —Bm 2 )x 2 y 2 = V 
folgt dann für die Veränderlichen der canonischen Form selbst: 
B) 
x 2 y 2 
H-inU 
1-9m 2 ’ 
Gleichungen, welche x und y geben. 
Es schliesst sich hier sehr gut die Cayley’sche Auflösung der Gleichung 
vierten Grades an. 
Sind m t , m 2 , m 3 die Wurzeln der Gleichung A), so müssen wegen B) die 
Ausdrücke: 
H — mjU, H — m 2 U, H — m s U 
vollständige Quadrate sein, deren Wurzeln vom zweiten Grade sind. Aber es ist 
auch der Ausdruck : 
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