Substitution. 
674 
Substitution. 
C) (m a — m a ) (H — in t U)^+{m s — m,) (/7— m^) (7/ — m s U)- 
ein vollständigas Quadrat eines der linearen Factoren der gegebenen Form. Denn 
dieser Ausdruck verschwindet identisch für U = 0, enthält also einen Factor von U. 
Ferner hat die cubische Gleichung: 
4z 3 — z(l + 3m 2 ) + m — m 3 = 0, 
welche mit A) übereinstimmt, die Wurzeln : 
m + 1 
m — 1 
~2~’ 
Tt TT 9 m 1 . n \ O 
H — m 3 U = g— C» - y ) 
Damit nun eine Grösse: 
a (.r 2 +y i ) + ß (x 2 ~y 2 )+y xy 
ein Quadrat sei, ist die Bedingung: 
y 2 = 4(« 2 -iS 1 ) 
zu erfüllen, welche sich sehr leicht hier verificiren lässt. 
Die Wurzel der Gleichung C) gibt also die linearen Factoren der biquadra- 
tischen Form. 
Es gibt aber noch eine Covariantc der biquadratischen Form, welche in den 
Coefficienten vom dritten, in den Veränderlichen vom sechsten Grade ist. Sic 
hat die Form: 
12 2 13 
und ist die cubische Covariante der ersten Emanante der Form. 
Entwickelt ist sie von der Form ; 
C — (a-d — 3 ahc + 2 b 3 ) x e -f (a 2 e + 2 ahd — 9 ac 2 + 6i 3 c) .r 5 j/ + (5 ahe —15 acd 
+ 10b-d) x l y 2 + (10h 3 e — 10 ad 3 ) x 3 y 3 + (15 bce — 5ade — 10 bd J ) x^y* 
+ (9c 2 e — ae 2 — 2bde — 6cd 2 ) xy 5 + (3cde — be 2 — 2d 3 ) y 6 , 
für die canonische Form ist sie: 
(1 — 9 m 1 ) (#* —y l )xy. 
Die biquadratische Form besitzt nicht wie die cubische eine quadratische 
Covariante, denn in ist die Wurzel einer cubischen Gleichung; die canonische 
Form wird also auf dreierlei Art bestimmt, die Bestimmung ihrer Factoren ge 
schieht also aus einer Gleichung sechsten Grades, und dies ist eben die Cova 
riante C. 
Die geometrische Bedeutung dieser Betrachtung ist folgende : 
Die vier linearen Factoren einer biquadratischen Form bestimmen vier Ele 
mente, die auf dreierlei Weise als ein involutorisches System zu betrachten sind, 
je nachdem das eine A zu Zi, C oder D conjugirt ist. Die Doppel-Elemente 
dieser drei Systeme bestimmt die Covariante C. 
Wenn man die canonische Form von C mit den Ausdrücken : 
H — m l U, H — in, U, H—in 3 U 
vergleicht, so zeigt sich, dass C 2 mit 
{U — m v U) (// — m 2 U) (H — in 3 U) 
proportional ist, also nach der Gleichung A), welche in gibt, proportional zu 
4H 3 - SHU 2 + TU 3 . 
Bildet man die Hesse’sche Determinante der Hesse’schen Determinante, so 
erhält man nach der Methode des Abschnitts 13): 
xX + y* + Gin'x*y 2