Substitution. 
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Substitution. 
sie hat also die Form: 
U + XH. 
Um l zu finden, geht man von der canonischen Form aus : 
H — x 2 y 2 . 
Die Hesse’sche Covariante hiervon ist also: 
H t = 2«i(l — 3i)i a ) {x i + y 4 ) — (1 — 18«i 2 + 9m 4 ) x 2 y 2 . 
Setzt man: 
(1 — 3m 2 ) U — QmH ... 
1 Q ä fUr X ‘+y ’ 
1 — 9 m 2 
H-mU 
1 — 9m a 
für x 2 y‘, 
so ergibt sich: 
f/, = 3TU -SH. 
Ebenso lässt sich zeigen, dass die Hesse- A- « 2 6 2 + b 2 c 2 + c 2 « 2 — 2abc (a+i + c) 
sehe Determinante von//j und jede an- ß = a 2^; c 2 (ab + bc-\-ca) 
dere Covariante vierter Ordnung die _ _ , 4 
Form: L - a b c . 
U^-XH Die Discriminante D ergibt sich; 
hat. wo X sich leicht in S und T be- D z: A 2 -\-128 B*. 
stimmen lässt. So ist die Discriminante Hieraus lassen sich unzählige Inva- 
der ersten Emanante von der vierten rianten von der Ordnung 4m bilden, 
nämlich als rationale Functionen von 
A, B, C. Eine davon ist: 
Ordung und gleich 
V. SH 
TU. 
Sind «, ß, y, (f die dritten Differen 
zialquotienten einer beliebigen Form, so 
ist immer: 
A{AC-B 2 ) 2 +8B3C-12ABC 2 
— 432 C 3 . 
Hermite hat gezeigt, dass dieselbe — 
, r „ . . 3 i a ro3 Qoi 2 a O r sie ist vom Grade 36 — ein vollstän- 
u d + 4«j' +44/3 3/3 y 6aßy ¿ig es Quadrat ist; somit ist ihre Wurzel 
eine Covariante derselben. Sind dann e ’ ne Invariante vom Grade 18, die erste 
a, b, c, d, e . , . die vierten Differen- entdeckte, welche nicht den Grad 4m hat. 
zialquotienten, so hat man bekanntlich: 
(n — 3) a — ax + by . . , 
und kann sie als Function von a, b . . . 
darstellen. Die Form des Resultats muss 
aber natürlich, wie bei der biquadiati- uische Form eingeführt 
sehen Form sein. Daher hat diese Co- - - - - — 
Variante die Gestalt: 
Sie unterscheidet sich von den übrigen 
auch dadurch, dass bei einer Transfor 
mation der Modul derselben hier im un- 
graden, bei den übrigen im graden Grade 
erscheint. 
Hermite hat auch eine andere cano- 
SH + XTU, 
T aus den Grossen in IV. 
Da jede binäre Form vom Grade 
2m — 1 eine quadratische Covariante hat 
und eine cubische Form durch Zerle 
gung derselben in ihre linearen Facto- 
ren auf die canonische Form gebracht 
wo S und 
entstehen, wenn man die Cocfficienten wird) so j ag es na h e , hier etwas Aehm 
aber durch die vierten Differenzialquo- lic hes zu versuchen. Die quadratische 
tienten von U ersetzt. Diese Gestalt Covariante für die Form fünften Grades 
nimmt also auch die Hesse’sche Deter 
minante der Hcsse’schen Determinante 
an, wie schon in Abschnitt 13) darge- 
than war. 
VI. Der binären Form fünften Gra 
des gibt Sylvester die canonische Form: 
ax s + by s +02®, 
wo 
x+y+z=0 
ist. Sie besitzt fundamentale Invarian 
ten vom vierten, achten und zwölften 
Grade. Sie sind in der canonischen 
Form: 
{a 0 a i a i a 3 a i a i ) | (xy) s 
ist: 
(« 0 «4 — 4a 1 « 3 + 3a 2 a ) x 2 + (a 0 a s 
— 3 fl,a 4 +2 a 2 a 3 )xy +(«^5 — 4 a i a i 
y 2 — A {x l x i) 2 {x 3 x t ) 2 
{x-x s y)\ 
Hermite bestimmt nun eine neue ca 
nonische Form, indem er setzt: 
a 0 a t — 4a,a 3 + 3a 2 a = 0, 
«,a 5 — 4« 2 « 4 + 3a 3 2 =0, 
so dass die Covariante gleich xy ist. 
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