Substitution, 
681 
Substitution. 
und zugleich von der neunten Ordnung 
in den Coefficienten ist, so dass X von 
der achten, fx von der sechsten sein 
muss, gibt nach Bestimmung der nume 
rischen Factoren 
4S»U- TH. 
Aus der Zwischenform 
selbst Function von V und H. Um eine 
beliebige Covariante auszudrücken, be 
darf man aber einer zweiten Covariante 
von der Form 
x 3 y 3 -f-2 s x 3 -\-y 3 z 3 . 
Eine solche findet Cayley, indem er an 
der Contravariante: 
£12 3 
d 
gibt die Substitution für £ u. s. w., an 
der Hesse’schen Determinante ausgeführt 
eine Covariante 
£12 
die Substitutionen; 
dH dH 
dH r 
dx' dy 1 dz 
y, £ 
macht. Man erhält: 
fd*U d*U / d»t/\»1 d*H _( d * U d*U _ d*ü\* /dlA> 
Ldi/ 2 ö 2 2 \dy dz) J d x 3 '' ‘ ^ Vdi/» öa» dx dy) \dx) 
welche in den Veränderlichen vom drit- sie ist vom achten Grade in den Coeffi- 
ten Grade ist, also die Form hat: cientcn, vom sechsten in den Veränder 
lichen, und hat die Gestalt für die ca- 
fxll. nonische Form: 
Sie ist vom achten Grade in den Coeffi 
cienten, also X vom vierten, fx vom zwei 
ten Grade. 
Es besitzt aber die ternäre cubische 
Form keine Invariante vom zweiten Grade, 
also fx ~ 0, und die Covariante ist: 
S U. 
Die beiden ersten Evectauten von T 
geben zwei Contravarianten. Die erste: 
ist dritter Ordnung, ihre Gestalt für die 
canonische Form ist; 
(1 — 10«t 3 ) (£ 3 + >; 3 + l 3 ) 
— 6wt 2 (5+ 4 m 3 ) %yC. 
Die zweite Evectante : 
ist in den Veränderlichen vom sechsten, 
in den Coefficienten vom vierten Grade. 
Cayley hat ihre Identität mit der reci- 
proken Polare der Curve nachgewieson. 
Alle anderen Contravarianten und Zwi 
schenformen sind Functionen der ersten 
Evectante von S und der zwei ersten 
von T. 
Die Form U selbst und H, welches 
letztere die einzige unabhängige Cova 
riante dritten Grades ist, haben in cano- 
nischer Form beide die Gestalt; 
x 3 -)- y 3 -¡-2 3 -f- mxyz 
also sind; 
x 3 y 3 z 3 und xyz 
,9 = (1 + 8>u 3 )» (y 3 z 3 -\-z 3 x 3 x 3 y 3 ) 
— (2m 3 + m 6 ) U* -f- (2m —5m 3 ) UH 
— 3m 2 //». 
Jede andere Covariante ist dann eine 
Function von UH und .9. Jedoch ist es 
nicht nöthig, dass dieser Ausdruck ein 
rationaler sei. 
Zu bemerken ist noch die Zwischen 
form : 
£12* £13 
die in den Coefficienten und den Ver 
änderlichen vom dritten Grade ist. Die 
Invarianten S und T erhält übrigens 
Sylvester gleichzeitig und zwar durch 
Betrachtung einer besondern Invarianten- 
Klasse. — Ist eine Function homogen 
in x, y, z und auch in £, y, C, also in zwei 
Gruppen von Veränderlichen, entspi’icht 
dann das Symbol 123 wie immer den 
Grössen x, y, a, 123' aberden Grössen 
£, y, £, so ist offenbar: 
123 123' 
das Symbol einer Invariante oder Co 
variante in Bezug auf beide Gruppen. 
So z. B. gibt das Symbol für die Form : 
ax£ -f- a'yy + a"a£ + by£ + b t zy -f- 6'a£ 
die Invariante: 
aa'a" + 66'6" + M'. i "i — abb i 
-a'b’b\ - a"6"6" l . 
Für die ternäre cubische Form soll 
noch die Operation : 
i23* 123'»