Substitution. 
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Substitution. 
quotienten die Variablen eliminirt. Gibt 
man der Gleichung der reciproken Po 
lare die Evectantenform: 
so ist J eine Invariante vom neunten 
Grade, die mit Hülfe der Gleichung der 
reciproken Polare ermittelt werden kann. 
Die Discriminante ist vom 27 sten Grade, 
lässt sich aber als Function der einfache 
ren Invariante ausdrücken. 
Zwei Contravarianten vom vierten und 
sechsten Grade sind in Abschnitt 13) 
gegeben. Aus den Invarianten ergeben 
sich andere durch Bildung der Evectante. 
Unter den Covarianten ist die Hesse 
sche vom sechsten Grade in den Verän 
derlichen, vom dritten Grade in den Coef- 
ficienten. 
Als andere Covarianten sind zu mer 
ken : Die S und T der ersten Emanante, 
1 1 
*12 
*1 3 
2 1 
*2 2 
*2 3 
\\ 1 
*.5 2 
*3 3 
welche eine cubische Form ist, eine bi- 
quadratische Covariante vom vierten Grade 
in den Coefficienten, und eine vom sechs 
ten Grade in den Veränderlichen und 
Coefficienten. 
Andere biquadratische Covarianten er 
hält man aus der Contravariante einer 
der vorhererwähnten biquadratischen Con 
travarianten, oder wenn man die Cova 
riante S von if-j-AS bildet; statt S kann 
auch eine der biquadratischen Covarianten 
genommen werden. 
VII Es sollen für quadratische For 
men hier schliesslich noch mehr als drei 
Veränderliche in Betracht gezogen wer 
den. Wir setzen doppelte Indices an 
den Coefficienten voraus, so dass 
x x mit 2a x s mit a 
p q p,qv P> P 
multiplicirt ist. Die einzige Invariante 
ist dann die Discriminante: 
= <*. 1 *2 2 *3 3> • • • • 
Die Evectante derselben lässt sich, wie schon früher gezeigt wurde, ebenfalls in 
Determinantenform schreiben, es treten zu der eben gegebenen nämlich die Ver 
änderlichen | 2 ,f s . .., die sich auf die reciproke Substitution beziehen, hinzu: 
-Hi* 
da 
+ 
0 
*2 
^3 
£4 
«i 
*1 
i 
*1 2 
*13 
*14 
^2 
«2 
i 
*2 2 
*2 3 
*2 4 
*3 
*3 
i 
*3 2 
*3 3 
a, 
4 4 
^4 
(1 
4 
i 
*4 3 
*4 3 
a , 
4 4 
Diese Contravariante wird ein vollständiges Quadrat, wenn die Discriminante 
verschwindet; überhaupt ist die Evectante der Discriminante einer Form nten 
Grades dann eine nte Potenz, wenn die Discriminante gleich Null ist. Der Be 
weis ist schon in Abschnitt 11) für ternäre Formen gegeben, und gilt allgemein. 
In unserem Falle ist das Zeichen des Quadrates das des Coefficienten von 
5t 2 , also das entgegengesetzte der Determinante: 
2 2 3 3 
• ). 
Dieser Satz gilt für alle symmetrischen Determinanten, er lautet in Bezug auf diese: 
„Wenn die erste Unter-Determinante einer symmetrischen Determinante ver 
schwindet, so haben die Determinanten selbst und ihre zweite Unter-Determinante 
ungleiche Vorzeichen,“ 
Hier ist dies zunächst nur für solche Determinanten gezeigt, deren erstes 
Glied verschwindet, aber da die Entwickelung der Determinante, das Product des