ymbol. 
die man ja auch 
lusdrückt, unter denen 
eges nur Grössen zu 
die Sätze I. bis IY. 
alle Resultate der ele- 
i ohne Weiteres für 
ar sind. Jedoch findet 
nkung statt, von der 
sein soll. 
f, f v , fi gewisse Ope- 
che andeuten, dass an 
ne gewisse Operation, 
uch sei,- vorgenommen 
ic schliesslich zu einer 
führt, so kann man 
) u die Summe 
i( M ) ±AW 
ichen -f- und — sind 
der Algebra gebrauch- 
d beziehen sich auf 
sind die Sätze I., II. 
iteres übertragbar. — 
lies aber mit den bei- 
Dem Zeichen 
AO) 
nne nach der Multipli- 
itendes Verfahren zu 
r ielmehr ist der Sinn 
: zuerst der Operation 
vden soll, die Grösse, 
bt, soll dann der Ope 
rn. Die beiden Sätze 
sein: 
= fifW 
n geben dasselbe Re- 
sie in beliebiger Ord- 
id: 
= ffM±ff a (u) 
±ff,(*)> 
u)=iC, f 3 (u) = z 
f an einer Summe 
Istreckt, ist identisch 
Differenz der Grössen, 
en, wenn jedes Glied 
leidet.“ 
beiden letzteren Sätze 
ein der Algebra ent- 
isches Verfahren ein- 
i. Es ist aber klar, 
licht allgemein gelten, 
und beliebige Func- 
uten. 
Symbol. 
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Symbol. 
Dagegen sind unsere beiden Sätze er 
füllt, für das Zeichen: 
'V M )> 
9 (u) 
r 
wo u eine Function von x und y ist, 
und 9 bedeutet, dass man für x irgend 
eine Function von fix) von x allein, 
dass man für y: q {y) setzen soll, 
in der That werden die Ausdrücke: 
wenn sie convergirt, also die in ihr ent 
haltenen Grössen gewisse Grenzbedin 
gungen erfüllen. Nun convergirt zwar 
die Reihe für e x immer, wenn x eine 
Zahl vorstellt, keineswegs aber die sym- 
d 
h 
dx 
,9 .9 («), 
x y' * 
,9- .9 («) 
y X' ' 
ganz dasselbe bedeuten, denn es kommt 
hierbei auf die Ordnung der Substitution 
nicht an. Ebenso hat man offenbar: 
.9 (u 
n + = 9 m + 9 n + 9 w 
— ' x — x — x 
und somit lassen sich die Regeln der 
Algebra nicht allein auf Ausdrücke wie; 
bolische Reihe für e u ‘ l f(x), Für letz 
tere und alle unendlichen symbolischen 
Reihen gilt also die Beschränkung, dass 
sie convergiren muss. 
Eine zweite Frage ist die, ob man 
dem Symbole auch negative Exponenten 
geben kann? Da die Grösse a~ n durch 
die Gleichung: 
— n n 
a a = 1 
definitiv ist, so wird die Definition des 
Symbols: 
(«»*+» v 
M, 
sondern auch auf die Eormen; 
(a P + i»* + c *V + .. 
9 x x y 
anwenden. 
Setzt man 
9 9 
x x 
• / \ 
(m) — u 
& x & x ( M ) = M > 
d. h. 9 
— l 
so ist: 
f(x) = x + h, 
•9 u — u— A(m), 
x (u) zeigt eine Operation an, 
welche durch die bereits bekannte 9 
wofür man symbolisch schreiben kann: 
(9 a .-i)M= A(«) 
für unendlich kleines h ist noch: 
du — ^x ^ u 
aufgehoben wird. Ist z, B.: 
& x fi x ) = fi x + h ) 
so wird; 
, —i 
x 
— i'^ x 
~\ h / M ’ 
9. Yix)~f(x-h) 
/» 
Es fragt sich noch ob die Betrachtun 
gen der Algebra ohne Weiteres Anwen 
dung finden, wenn es sich um Reihen 
von unendlich viel Gliedern handelt. 
Dies ist z. B, bei der oben angeführten 
symbolischen Formel: 
h~ 
f{x + h) = e dx f(x) 
der Fall. — Da es sich hier um eine 
unendliche Reihe handelt, so ist zu be 
achten, dass bei solchen eine blosse Com 
bination von Buchstaben und Zeichen 
nicht mehr ausreichend ist, dass viel 
mehr auf die Bedeutung der Buchstaben 
eingegangen werden muss. In der That 
bat eine solche Reihe nur einen Sinn 
sein, denn 
f(x -h-\-h) 
das Zeichen: 
A _l fix) 
wird sein gleich: 
f{x -h) + f{x — 2 h) + . . . +/"(«), 
denn wenn man auf diese Reihe die 
Operation A anwendet, so erhält man: 
f(x) + fix- h) + ... + /■(«) 
— fix — h) — ... — /■(«) 
= f( x )- 
In ähnlicher Weise könnte man dem 
Integrale: 
f> 
fix) dx 
den Ausdruck; 
ÜBI