Radlinie. 
64 
Radlinie. 
Soll die Länge S des Bogens OL gefunden werden, so hat man 1 
s =/ 0 V(®)’+(I) ' м=г Г 0 +ь - “• I 
d. h. 
S = 4r — cos 
Wird der halbe Zweig OM gesucht, so 
hat man fl — n, also : 
S = 4r 
und für den ganzen Zweig OMA : 
S = 8 r. 
2) Verlängerte und verkürzte 
Cycloide. 
Denkt man sich statt des Punktes A 
in der Peripherie des Erzeugungskreises 
einen beliebigen mit diesem Kreise fest 
verbundenen Punkt B, so wird letzterer, 
während der Kreis auf der graden Linie 
OX rollt, eine Curve beschreiben, welche 
man verkürzte Cycloide nennt, wenn B 
ausserhalb des Erzeugungskreises liegt; 
verlängerte Cycloide, wenn B innerhalb 
desselben liegt. — Wir gehen, um die 
Gleichungen dieser Curven zu bestimmen, 
vom ersteren Falle aus. Sei wieder C 
Mittelpunkt des Erzeugungskreises, r sein 
Radius, ziehen wir BC, welche Grade 
den Kreis in A schneidet. Die Linie, 
auf welcher der Kreis rollt, OX sei wie 
der Abscissenaxe (Fig. 60), Anfangspunkt 
Fig. 60. 
der Coordinaten derjenige Punkt 0, in 
welchem Punkt A die Axe der X be 
rührt, und der abgerollte Winkel ACM—fl, 
es ist dann BN—y, ON = x. Setzen wir 
noch BA — a, und ziehen PC parallel OX, 
Gleichungen werden etwas einfacher, 
wenn man eine Axe der x annimmt, 
welche der ersteren parallel, aber um 
die Entfernung a von ihr absteht. 
Es ist dann 
so ist: ON = OM-MN = OM - PC, 
BN= BP+PN = BP+ CM. 
ih=y + a 
zu setzen, also: 
Aber; 
OM = rfl, 
PC—(r-\-a) cos ^.9 — — (»’ + «) s * n 
CM = r, 
BP = (r-\-a) sin ^,9 —z= — (r-f-fl)cos <9, 
d. h. 
x — rfl — (r -f- «) sin fl 
y = r — (r + a) cos fl. 
Dies sind die Gleichungen der ver 
kürzten Cycloide. Für die verlängerte 
ist eben a nur negativ zu nehmen. Die 
1) x = r {fl — sin fl) — a sin .9, 
2) y i = (»' + «)(! — cos &)• 
Gehen wir von diesen Gleichungen aus, 
so lässt sich ganz wie im vorigen Ab 
schnitte zeigen, dass die Curve aus con- 
gruenten Abschnitten OMA, ANB u s.w. 
besteht, die wieder in zwei symmetrische 
Theile OM und MA zerfallen. 
Hier ist jedoch für die verlängerte und 
die verkürzte Cycloide ein wesentlicher 
Unterschied zu machen. Es ist nämlich 
für die erstere 
dx _ 
dfl 
r — (r — a) cos fl