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System. 
Da nun S — — f Constant ist, so sieht 
man, dass, wenn die Ausdrücke in den 
Klammern rechts Differcnzialquotienten 
einer Function sind, dies auch mit den 
Ausdrücken links der Fall sein muss. 
Also : 
Wenn gewisse Strahlen Nor 
malen einer Fläche sind, so sind 
sie auch nach der Brechung 
Normalen einer andern Fläche. 
Diese Eigenschaft wird also bei be 
liebig vielen Brechungen und Spiege 
lungen hoibehalten, vorausgesetzt, dass 
der hier ganz ausgeschlossene Fall der 
doppelten- Brechung nicht stattfindet. 
Namentlich findet dies auch statt wenn 
die Strahlen von einem Punkte ausge 
hen . in welchem Falle sie Normalen 
einer Kugel sind. 
Sind übrigens u', v\ io' die Coordi 
nateli derjenigen Flächen, deren Nor 
malen die gebrochenen Strahlen sind, so 
hat man : 
u' — § v r — t] to' — £ 
und wegen 10): 
k £— m/ 
also ; 
- / _ , , , d C 
~di~ +f H’ 
òt^L ä 
y 
= s- 
(^) 
«5—7^ <5 
—/ - = S- , 
OY] OiJ 
(~) 
also ; 
also : 
w' — £ w — £ 
S + const. 
ui M '~ £ - — v _ w> -- C _ s C 
’ «' ~ ß ' ~ y' y 
+ const. 
erste Normalstück gleich r, das letztere 
gleich r', so hat man: 
_ 5 — u , _ | — u f 
(C ’ (1 ’ 
also wegen Gleichungen 14): 
r' — Sv -f- const. 
Im Falle der Reflexion aber, wo 
S = — 1 ist: 
r’ -f- v — const. 
Auch dieser Satz lässt sich leicht direct 
beweisen. 
Legen wir auf Fläche £»;£ durch £ 0 >; 0 £ 0 
und £<;£ irgend eine Curve, und sei da 
deren Element, so ist offenbar: 
da sin # = dr 
da sin f = dr r , 
also: 
jai 
a. 
N ~ do' 
woraus 
N t r — Nr — c, 
oder: 
r* — Sr = const. 
Da vermöge der Gleichungen 6) ß r , y' 
ausserdem aber w, £ und y in £ und tj 
gegeben sind, so ist dies auch mit v!, v r , w' 
der Fall. Man findet also durch Elimi 
nation vd' als Function von u' und v'. 
Aus dem hier gegebenen Satze lassen 
sich übrigens wichtige Resultate ziehen. 
Zu jeder Oberfläche gehören nämlich 
bekanntlich zwei Evolutenflächen, in 
welchen allein jede Normale von einer 
benachbarten geschnitten wird. 
Diese Evolutenflächen der auf die ge 
brochenen Strahlen normalen Flächen 
sind, also die Vereinigungspunkte der 
einander unendlich nahen Strahlen, nnd 
jeder Punkt in ihnen ist also ein Bild 
des Punktes von dem die Strahlen aus 
gehen. Also: 
„Strahlen, die von irgend einem Punkte 
ausgehen, haben zwei Reihen von Bildern, 
von denen jede eine Fläche bildet. Diese 
Flächen heissen caustische oder Brenn 
flächen.“ 
Aus diesen Gleichungen lässt sich ein 
Satz ableiten. 
Legen wir durch irgend einen Punkt 
fo’ioCo der Eläche £«j£ auf die Schaar 
der ursprünglichen und auf die der ge 
brochenen Strahlen eine Normalfläche, 
und betrachten wir die Normalstücke, 
welche von irgend einem Punkt £);£ der 
gedachten Fläche bezüglich bis zur ersten 
und zweiten Normalfläche gehen; sei das 
Vereinen sich in irgend einem Punkte 
einer solchen unendlich viel einander un 
endlich naher Normalen, so hat man ein 
Hauptbild. Ein solches ist z. B. das 
im vorigen Abschnitte allein betrachtete, 
von den Strahlen herrührende, welche mit 
der Axe unendlich kleine Winkel machen. 
Es ist im Allgemeinen schwer, mittels der 
obigen Gleichungen die Fläche zu finden, 
auf welcher die gebrochenen Strahlen