Radlinie. 
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Radlinie. 
nicht auf die jedesmalige Entstehung 
sondern nur auf die Form der Curven 
Rücksicht, so sind Hypocycloiden nur 
alle diejenigen, deren Erzeugungskreis 
kleiner als der feste Kreis ist, wo das 
Rollen wirklich innerhalb des festen 
Kreises stattfindet. Epicycloiden würden 
dagegen nur Curven sein, deren Erzeu 
gungskreis den festen Kreis entweder 
von Aussen berührt, oder ihn zwar von 
innen berührt, wo aber der Erzeugungs 
kreis grösser als der feste ist. 
Indess ist es bei Anwendungen in der 
Mechanik oft gerathen, wie dies hier 
z B. in dem Artikel; Rad geschehen ist, 
die Namen bloss auf die Erzeugung zu 
beziehen, und alle Curven, die bei in 
nerer Berührung beider Kreise entstehen 
als Hypocycloiden zu bezeichnen. 
Suchen wir noch die Bezeichnung zwi 
schen den Radien zweier Erzeugungs 
kreise, welche dieselbe Cycloide bilden, 
wenn « kleiner als Eins ist. Es war: 
Au _ Au 
Q ~ 2(«+!)’ ?l “2(l^j’ 
p _ 
p,. 1 + «’ 
-=**• 
also: 
1 — Ci 
2o 
r + 2p ’ 
1 + « 
2 (r+p) 
r+2o ’ 
d. h. 
oder 
Qi-Q 
Q = Q 
Pi r + p 
„In diesem Falle ist also die Differenz 
der Radien beider Erzeugungskreise 
gleich dem des festen Kreises.“ 
Ist die Geichung: 
s = A cos a l 
gegeben, so hat. man also eine Hypoey- 
cloide, wenn « grösser als l ist, eine Epi- 
cycloide, wenn « kleiner als l ist, eine 
gemeine Cycloide, wenn u = 1 ist. 
6) Evolventen und Evoluten 
der Cycloiden. 
Die Grössen s und l sind als Coor- 
dinaten zu betrachten, welche die Gestalt 
der fraglichen Curve ergeben. Die ein 
zige Transformation, welche man diesen 
Coordinaten geben kann, besteht offen 
bar darin, dass man den Punkt ändert, 
von welchen aus man die Bogen s zählt 
und die feste Linie oder Richtung, mit 
welcher die Tangente den Winkel l macht. 
Da übrigens s und l nach einer oder der 
andern Seite hin als positiv betrachtet 
werden können, so sind die allgemein 
sten Transformationsformeln, wenn s, l 
die alten, s', 1' die neuen Coordinaten 
sind: 
s' — h + s, 1' = k + /, 
wo h und k beliebige Constanten sind. 
Ist 
s=f(l) 
die Gleichung einer beliebigen Curve, so 
muss die einer congruenten Curve die 
Gestalt haben: 
*’ = nn> 
wo s' und V durch irgend eine Trans 
formation von der obigen Gestalt sich 
aus s und l ergeben. 
Soll eine Curve derjenigen ähnlich 
sein, welche die Gleichung s = f{l) hat, 
so muss ihre Gleichung sein: 
s' ~ mf {l') , 
wo rn die Verhältnisszahl dieser Curve 
in Bezug auf die gegebene, also constantist. 
In Abschnitt 4) fanden wir, dass, wenn 
N und L die Coordinaten einer Curve 
sind, diese Grössen für ihre Evolvente 
sich ergeben aus den Gleichungen: 
s = Í SdL-\-aL, l — L. 
J o 
Das doppelte Vorzeichen von L ist weg 
zulassen, da dasselbe durch eine Coor 
dinaten-Transformation sich wiederher 
stellen lässt. Ist die Gleichung der 
Evolventen zwischen s und l gegeben 
und man sucht die der Evolute, deren 
Coordinaten S und l sein mögen, so ist: 
£=•+* 
Sei also: 
s = A cos a l, 
also die Evolvente eine Cycloide, so ist; 
S = — A a sin al + aR, 
also wenn wir setzen: 
s' = -S-j-« 
so ergibt sich für die Evolute: 
s' = Au cos ul f , 
d. h. die „Evolute irgend einer Epicy- 
cloide oder Hypocycloide ist eine der 
gegebenen ähnliche Curve.“ Die Ver- 
hältnisszahl u ist bei den Hypocycloiden 
grösser als 1, bei den Epicycloiden kleiner 
als 1, bei der gemeinen Cycloide gleich 1, 
also: 
„Die Evolute einer gemeinen Cycloide 
ist derselben congruent.“