mgrösse. 
Raumgrösso. 87 Raumgrösse. 
5 Raumes brachten es 
lass die Linien selbst 
3ei jeder solchen Bewe- 
Linio in eine andere 
i aber bei diesen Ueber- 
schiedene Arten unter- 
ler die neu entstandene 
3r alten durch eine Be- 
n welcher alle Punkte 
g zu einander behalten 
lern, also sich nur der 
3n sie einnimmt ändert; 
dass beide Linien sich 
interscheiden, und dass 
Oder diese Beziehung 
Punkten dieselbe; man 
Ue Linien bei der Be 
iänderung erlitten habe, 
unterscheiden sich nicht 
Lage, sondern auch 
ron einander. 
, von diesem Prinzipe 
zwei gegebene Linien 
Linien können entwe- 
sein, dass die eine A 
der Form und Lage 
{ übergeht; man sagt 
en sind gleich,“ — oder 
it ist derart, dass dies 
und es ist dann selbst- 
jedenfalls die eine, die 
h Aenderung der Form 
i einen Theil von B 
-nan sagt dann: „die 
jr als B, B grösser als 
lichtlich ist es hiernach, 
sei 2, 3 mal so gross 
i überlegt, dass auch 
der Form und Lage Ä 
r bleibenden Theil der 
en kann, in welchem 
gross ist als A u. s. w. 
; Linie als Maass einer 
und somit jede Linie 
i. Unter den Linien 
ie graden Linien her- 
grade Linien hat man 
nitionen. Die beiden 
sind: — 1) die grade 
Hohe, welche in allen 
selbe Richtung hat, — 
e ist die kürzeste zwi- 
Gegen die erste De- 
nzuwenden sein, dass 
ler Richtung erst durch 
jinie in uns entsteht, 
3n 2 Linien gleich ge 
tan sie in einer graden 
te dann den parallelen 
ags oft geschieht, auch „ 
■.uschreiben, was jeden- 
iie Sache genau über 
legt, der Auseinandersetzung etwas Vages 
und schwer zu Verdeutlichendes gibt). 
Was die zweite Definition anbetrifft, so 
lässt sich gewiss Nichts gegen ihre Rich 
tigkeit einwenden, jedoch will es uns 
scheinen, dass diese Erklärung wenig 
geeignet sei, gewisse Eigenschaften der 
Graden daraus zu entwickeln, die man 
doch sehr nöthig in den Elementen der 
Geometrie braucht, z. B. schon den Satz, 
dass zwischen 2 Punkten nur eine grade 
Linie möglich sei. Wir halten es daher 
für besser, von den oben gegebenen Be 
trachtungen ausgehend auf eine andere 
Art zur Definition der graden Linie zu 
gelangen. 
Denke man sich eine beliebige Linie 
in ihren beiden Endpunkten fest, so kann 
im Allgemeinen nach dem Vorigen nichts 
destoweniger dieselbe ihre Lage, zugleich 
aber auch muss dieselbe ihre Form än 
dern. Ist nun eine Linie so beschaffen, 
dass sie zwischen ihren Endpunkten nur 
eine einzige Lage annehmen kann, so 
soll sie eine grade heissen. — Es soll 
gezeigt werden, dass aus dieser Defini 
tion die andern Eigenschaften der gra 
den Linie sehr leicht hervorgehen. 
Sätze von graden Linien. 
I. Jeder Theil einer graden Linie ist 
wieder eine solche. 
Denn könnte ein Theil a der graden 
Linie A zwischen seinen Endpunkten 
seine Lage ändern, so geschähe dies 
gleichzeitig auch mit der ganzen Linie A. 
II. Die grade Linie ist kleiner als 
jede andere zwischen ihren Endpunkten. 
Denn angenommen, es Hesse sich zwi 
schen den Punkten AB (Fig 74) ausser, 
Fig. 74. 
E 
f'C) 
- El) " 
A 
B 
der Graden AB noch eine zweite nicht 
grössere Linie ADB zeichnen, so wäre 
letztere entweder gleich AB, und es müsste 
diese durch Formänderung in ADB über 
gehen können, was der Definitton der 
graden widerspricht, oder es wäre ADB 
kleiner als AB, so könnte erstere durch 
Hinzufügung einer Ausbiegung DEFD, 
in eine Linie ADEFDB verwandelt wer 
den, welche gleich AB wäre, was also 
auch unmöglich ist. Hieraus folgt so 
gleich : 
III. Zwischen zwei Punkten ist nur 
eine Grade möglich. 
Denn wären AB und ADB beide 
grade, so wären sie beide die kürzesten 
zwischen A und B also gleich gross, 
was dem vorigen Satze widerspricht. 
IV. Zwei grade Linien decken sich 
ganz oder theilweise. 
Denn immer können sie so auf einan 
der gelegt werden, dass die Endpunkte 
der kleineren mit zwei Punkten der 
grösseren zusammenfallen, und da zwi 
schen diesen Punkten dann nur eine 
Grade möglich ist, zo findet Deckung 
statt. 
Indess hat diese Definition der graden 
Linie auch ihre schwache Stelle. Es ist 
die, dass vorausgesetzt werden muss, es 
gebe immer zwischen zwei Punkten wirk 
lich eine Grade. Ueberhaupt ist es un 
möglich, dergleichen Voraussetzungen in 
den Anfängen der Raumlehre zu ver 
meiden. Wir nehmen nämlich in der 
Anschauung des Raumes gewisse Eigen 
schaften desselben zugleich in uns auf, 
welche eben als vorhanden betrachtet 
weraen müssen, und die man nicht 
weiter begründen kann, so die Möglich 
keit der 3 Dimensionen, der Beweglich 
keit der Raumgrössen, des Vorhanden 
seins der graden Linien u. s. w. 
„Jede nicht grade Linien nennen wir 
krumm, gebrochen, gemischt, je nachdem 
entweder kein Theil eine grade bildet, 
oder sie nur aus Graden besteht, oder zum 
Theil Ersteres zum Theil Letzteres ein- 
tritt.“ 
Wie unter den Linien die grade, so 
ist unter den Flächen die ebene Fläche 
oder Ebene hervorzuheben. 
Die gewöhnliche Definition der Ebene: 
„Sie ist eine solche Fläche, in welcher 
sich zwischen jeden zwei Punkten eine 
grade Linie ziehen lasse“, muss als die 
beste anerkannt werden, und lässt sich 
wohl jede andere Definition auf diese 
zurückführen. Ihre schwache Stelle ist 
eben nur die unvermeidliche, dass sie 
das Vorhandensein einer Fläche von der 
bezeichneten Eigenschaft ohne Weiteres 
voraussetzt. Von den Grund eigenschaf- 
ten der Ebene gehören hierher nur die 
Folgenden: 
I. „Durch eine grade Linie lassen sich 
unendlich viel Ebenen legen.“ 
Es ist nämlich möglich, eine Ebene 
so zu bewegen, dass eine Linie in ihr 
der Lage nach unverändert bleibt, und 
nimmt die Ebene hierbei unendlich viel 
Stellungen an.