imgrösse. 
Raumgrösse. 89 Raumgrösse. 
den, und lässt sich nicht 
n führt immer auf die 
welche uns mit dem 
egeben sind, zurück, 
derung der Lage denkt 
de vom festen Punkte 
Richtung ins Unend- 
die Bahn, welche die 
solchen Bewegung be- 
wir Winkel, 
sst sich also auch de- 
heil einer Ebene, wel- 
von zwei Graden, die 
ikte A schneiden, und 
ach einer Richtung hin 
rlängert gedacht wer- 
A heisst Spitze oder 
irend die begrenzenden 
genannt werden. Ein 
nicht vollständig be 
dang der Linie so lange 
in ihre frühere Lage 
nnen wir den entste- 
nen vollen.“ — Dass 
sind, wird bewiesen, 
ass dieselben der Mes- 
nd kann dies auf fol- 
lehen. 
und Q können offen- 
r gelegt werden, dass 
ad die Scheitelpunkte 
cken sich hierbei auch 
kel so werden die 
annt. Geschieht dies 
r eine Winkel P den 
es Winkels Q in sich 
sagt dann; Winkel P 
In diesem Falle ist 
eich Q. Sonach lässt 
theilen, indem man 
aus Linien zwischen 
ezogen denkt. Es ist 
s die Hälfte, der vierte 
es Winkels sei. Zu 
ein Satz, der an sich 
nkel sind gleich, 
i die beiden Schenkel 
imen zusammen, und 
lieselben, da ja jede 
ecken. 
hieraus folgende De- 
vollcn Winkels heisst 
Ifte eines gestreckten 
ler Winkel, der klei- 
t, spitzer, der grösser 
kleiner als ein ge- 
er, jeder der grösser 
und kleiner als ein 
erhabener oder con 
vexer Winkel, während jeder, welcher 
kleiner als ein gestreckter ist, als hohler 
oder concaver Winkel bezeichnet wird.“ 
Aus Satz I. folgt dann augenblicklich: 
II. Jede zwei gestreckten Winkel sind 
gleich. — Jede zwei rechten Winkel sind 
gleich. — Ausserdem lässt sich leicht 
der folgende Satz beweisen; 
III. Die Schenkel eines gestreckten 
Winkels bilden eine grade Linie. Denn be 
wegt man die grade Linie BA (Fig. 75) so 
in ihrer Ebene, dass A festbleibt und so 
lange, dass sie in die Lage AC kommt, 
die mit B in einer Graden liegt, und 
setzt die Bewegung fort bis BA in ihre 
frühere Lage kommt, so ist Winkel 
BAB in zwei andere BDAC und CE AB 
Fig. 75. 
getheilt. Diese sind gleich, denn die 
Graden BDAC und BEAC decken sich, 
und folglich auch die Winkel. Jeder 
derselben ist also die Hälfte des vollen 
und mithin ein gestreckter Winkel. 
Hieran ist noch die Definition zu 
knüpfen: „Wenn man einen gestreckten 
Winkel in zwei Theile theilt, so heissen 
dieselben Nebenwinkel.“ Und hieraus 
folgt dann sogleich: 
IV. Zwei Nebenwinkel sind entweder 
beide rechte, oder der eine ein spitzer 
der andere ein stumpfer. Immer aber 
betragen sie zusammen einen gestreckten 
oder zwei rechte Winkel. 
Mit diesen Definitionen und Sätzen 
wäre dass für die Anfangsgründe der 
Geometrie in Bezug auf die Raumgrössen 
Nothwendige gegeben. Es sind aber 
hieran noch einige Erläuterungen zu 
knüpfen, die namentlich Schwierigkeiten 
begegnen sollen, welche in den hohem 
Theilen der Geometrie oftmals entgegen 
treten. 
In dem man die grade Linie gleichsam 
als das erste Element und als diejenige 
betrachtet, auf welche man alle Linien 
zurückführen kann, sieht man sich in 
der Theorie der krummen Linien ver 
anlasst zu der Annahme, dass jede sol 
che Linie in ihren kleinsten Theilen sich 
der graden annähere, derart nämlich, 
dass ein sehr kleiner Theil einer krum 
men Linie um so näher einer graden 
komme, als ihre Grösse abnimmt, und 
schliesslich mit derselben zu identificiren 
sei. Nur in einzelnen Punkten einer 
jeden Linie kann von dieser Regel Ab 
weichung stattfinden. In den sogenann 
ten Spitzen der krummen Linien wird 
derjenige Theil derselben, welcher von 
zwei Punkten begrenzt wird, die auf 
beiden Seiten der Spitze liegen, nie einer 
graden gleich zu setzen sei, so sehr man 
diese Punkte auch der letztem näher 
rücken lasse. Diese Betrachtungen setzen 
auch voraus, dass je zwei nächste Stücke 
einer beliebigen Linie, also solche die 
man jedes als grade betrachten kann 
einen Winkel mit einander machen, wel 
cher nur um unendlich wenig von einem 
gestreckten Winkel abweichen kann ; denn 
da sich die Richtung dieser Stücke ge 
gen einander bis auf jede Grenze der 
einer Graden annähern muss, wie eben 
gezeigt wurde, muss diese Richtung einem 
gestreckten Winkel entsprechen. -Aus 
nahmen können nur in einzelnen Punkten 
stattfinden, und dies sind eben bei 
krummen Linien die Spitzen, bei gebro 
chenen Linien aber die Endpunkte. Da 
nun in der Erklärung einer Linie als 
eine Aneinanderreihung von Punkten oder 
als die Bahn eines bewegten Punktes 
von solchen Beschränkungen Nichts ent 
halten ist, so sind dieselben anderweitig 
zu begründen. An sich nämlich kann 
man z. B. in der gebrochenen Linie 
abcdefghklmnpq (Fig, 76), die man sich 
Fig. 76. 
jedenfalls als Bahn eines Punktes den 
ken kann, die einzelnen graden Stücke 
ah, bc u. s. w. so aneinander rücken 
lassen, dass sämmtliche Winkel bed u. s. w. 
immer kleiner werden, und man wird 
dabei immer noch annehmen können, 
dass die gebrochene Linie die Bahn eines 
Punktes bleibe. Wenn sich aber die An 
zahl der Strecken dabei ins Unendliche 
vermehrt, so stellt die so gebildete Bahn 
gleichzeitig einen Theil der Ebene vor, 
was doch dem Wesen einer Linie zu 
widersprechen scheint. Dergleichen Bah 
nen, möge man sie nun als Linien be 
zeichnen oder nicht, müssen also in den