umgrosse. 
in aller Allgemeinheit 
ige Formel zu geben, 
eine Anzahl, oft in eine 
ihl, einzelner Fälle aus- 
nd einen ganz besonde- 
i Rechnung nothwendig 
- Jedoch ist die Rich- 
gleichen Betrachtungen 
legründen, als sie vielen 
tige Schwierigkeiten zu 
, dass man sehr aus- 
aandersetzungen zu de- 
ig für nothwendig ge- 
dies z. B. in Carnots: 
sition durch lange Be 
gehen ist, welche die 
der Vorzeichen ersetzen 
wir beispielsweise von 
'möchte allerdings fest- 
hegrenzte Linie an sich 
:h negativ sei, wie auch 
iffen sei. Zwischen den 
AC, BC' undiSC(Fig. 77) 
Fig. 77. 
aus kein Gegensatz gel- 
lie Linien BC und CB 
id ja diese vollständig 
m so weniger hier ein 
nden. Letzterer aber 
ir die Linie als Entfer- 
ipunktes vom Endpunkte 
hier ausdräcken wollen, 
mf Flächen und Körper 
usdruck zu haben, als 
aum betrachten. Wir 
etwas genauer zu be- 
henraum zweier Punkte 
c auf einer gegebenen 
imen) Linie liegen, ver- 
zwischen ihnen befind- 
er Linie mit der Maass- 
Zwischenraum zugleich 
hinkt man als Anfangs- 
icn als Endpunkt des- 
t. Es sind also die 
iß und BA nicht iden- 
tere die von A nach B 
, der letztere die von 
ide angeben soll, 
icnräume zweier Punkte 
nd entweder gleich ge- 
der mit BA, z. B. AC, 
Raumgrösse. 
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Raumlehre. 
CB, BC, denn hier ist immer vom An 
fangspunkte ans nach derselben Richtung 
wie von A nach B vorzuschreiten, um 
zum Endpunkte zu gelangen, oder sie 
sind gleich gerichtet mit BA, wie BC, 
CB. Ausser diesen beiden Richtungen 
gibt es keine weiteren. 
III. Der Zwischenraum zweier belie 
bigen Punkte A und B lässt sich als 
Summe anderer gleichgerichteterZwischen- 
räume ausdrücken, z. B.: 
AB = AC' + C'B = AC'+C'C"+C"ß ...’ 
wenn C, C" ... beliebige Punkte sind, 
die zwischen A und B liegen. 
IV. Der Zwischenraum zweier Punkte 
A und B lässt sich als Differenz von 
zwei Zwischenräumen AC — BC aus 
drücken, wenn C ein beliebiger nicht 
auf der Strecke Aß liegender Punkt ist, 
also der Zwischenraum CB und BA gleich 
gerichtet ist. Unterscheidet man nun die 
beiden Richtungen, welchen Zwischen 
räume haben können, durch das Vorzei 
chen, nimmt also an, dass unter — AB 
immer die Strecke BA, unter — BA 
die Strecke AB verstanden werde, so ist: 
grossen (Flächen, Körper, Winkel) über 
tragen. Wir geben daher nur ein Bei 
spiel. Seien AC, BD (Fig. 78) zwei be- 
Fig. 78. 
liebige ins Unendliche sich erstreckende 
Linien, BA, EF zwei andere, welche 
dieselben schneiden, so ist: BAEF, d. h, 
das von BA und EF, BD und AC be 
grenzte Viereck, der Zwischenraum zwi 
schen AB und CD zu unterscheiden von 
EFAB. Im erstem Falle ist nämlich 
BA die Anfangsbegrenzung, im letztem 
Falle EF und immer ist: 
also: 
BC- - CB, 
AB = AC + CB. 
und 
BAEF — BAUD' + C'D'EF 
BAEF - BACD - EFCD, 
Es war vorhin AB = AC A CB und 
die in III. und IV. gegebenen Sätze 
lassen sich somit in folgenden enger zu 
sammenfassen. 
V. Wenn man alle mit AB gleich 
gerichteten Zwischenräume als positiv, 
alle mit BA gleich gerichteten als ne 
gativ betrachtet, so ist der Zwischenraum 
zweier Punkte A und B gleich der Summe 
aller Zwischenräume von A und C, C 
und C, C und C" . . . CW und B, wo 
C und C" . . . № beliebige Punkte 
auf der nach beiden Seiten unendlich zu 
denkenden Linie AB sind. 
Es ist namentlich die Entfernung des 
Punktes gleich AB — AB = 0 oder auch 
gleich AB + BA Diese Gleichung zeigt, 
dass sich Zwischenräume aufheben kön 
nen. — Da nun in der Arithmetik, (siehe 
den Artikel: Quantität) eine negative 
Grösse — a als eine solche definirt wird, 
welche zu a addirt Null gibt, so zeigt 
sich, dass man bei allen Rechnungen, 
denen Linien unterworfen werden können, 
die bekannten Regeln des Rechnens mit 
positiven und negativen Zahlen anwen 
den kann, in der Voraussetzung, dass 
die Vorzeichen, die Richtung der Zwi 
schenräume andeuten. Das Gesagte lässt 
sich nun ohne Weiteres auf andere Raum 
zwei Gleichungen, die anl eine gemein 
schaftliche Form zurückkommen, wenn 
man setzt: EFCD = — CDEF, so dass 
diese Voraussetzung das Rechnen mit 
negativen Grössen auch für Flächen 
rechtfertigt. 
Raumlehre (Geometrie). 
1) Einleitung. 
Raumlehre oder Geometrie ist bekannt 
lich derjenige Theil der Grössenlehre 
(Mathematik,), welcher sich mit den 
Raumgrössen beschäftigt. 
Sie muss insofern als die älteste der 
mathemathischen Wissenschaften betrach 
tet werden, als sie zuerst zu einem 
völlig geordneten Zusammenhänge (Sy 
stem) verbunden ist. Es ist ein solches 
geometrisches System zuerst von Euklid 
bearbeitet worden, und ist im Wesent 
lichen seine Art des Vortrags, nament 
lich was die Elemente anbetrifft, noch 
jetzt beibehalten worden, ohne dass je 
doch anzunehmen ist, dass alle in Euklids 
Werke vorhandenen Sätze,Aufgaben u.s.w. 
ihrem Inhalte oder ihrer Form nach auch 
von ihm herrühren. Vielmehr haben 
Jahrhunderte vor ihm schon bedeutende 
Geometer die Wissenschaft mit ihren 
Entdeckungen bereichert, jedoch ist Eu 
klid hier ergänzend, berichtigend und 
verbindend cingetreten, und somit ist er, 
was den geometrischen Vortrag in Form