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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. 
tés. Formons les expressions 
= «1, 
s 2 — Uy 4- u 2 , 
s fl = Ui H- U 2 4- . . . + U n . 
Si n augmente indéfiniment, il peut se faire : 
i° Que ces sommes successives ne tendent vers aucune 
limite déterminée. 
Ce cas se présentera, par exemple, pour la série 
4-x, — 1,4-1,— l,.... 
2° Qu’elles tendent vers cc . 
Ce sera le cas pour la série 
i, 2, 3, ... . 
3° Qu’elles convergent vers une limite finie s. 
On dira dans ce cas que la série infinie 
«i 4-' «2 4- • • • 4*- Un 4- . • • • 
est convergente et a pour somme s. 
11 faut évidemment, pour la convergence, qu’en prenant n 
suffisamment grand, toutes les sommes successives s /n 
s n+i , . . ., s n+p , ... ne diffèrent de leur limite commune s, 
et par suite ne diffèrent entre elles, que d’une quantité aussi 
petite que l’on voudra. On doit donc, quelque petite que soit 
la quantité s, pouvoir déterminer une quantité n telle que 
l’on ait, pour toute valeur de p, 
$n+p $n — U n +\ 4“ • • • 4— LL/i+p ^ ® 
(en valeur absolue). 
Réciproquement, si cette condition est satisfaite, deux 
quelconques des sommes considérées s, t +p et s n+q différeront 
de moins de as. Les sommes successives s if s 2 , • • •, s in ■ ■ ■ 
convergeront donc vers une même limite.