DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Io3 
Des conditions précédentes 
M/i-hl 'd £ > ^.i + 1 “I - Mn-h2 < C -■> • • • y M/i+l _r ~ • • • M;i+p ^ c 5 • ' • 
(en valeur absolue)’, on déduit que u n+f , a ll+2 , • • • ? doivent 
être < as en valeur absolue. Il est donc nécessaire, sinon 
suffisant pour la convergence, que les termes de la série 
tendent vers zéro quand leur indice augmente. 
i aucune 
110. Considérons, en premier lieu, les séries à termes po 
sitifs. Les sommes successives s 2 , ■ • •, allant constamment 
en croissant, tendront nécessairement vers une limite déter 
minée si elles ne croissent pas jusqu’à co . 
Hl. Théorème. — Soient 
s — + m 3 + . . . et S -= e, + Pj +. . . 
renant n 
deux séries à termes positifs. Si l’on suppose : 
i° Que la sériel soit convergente ; 
2° Qu’à partir d’un certain rang tous ses termes soient 
plus grands que les termes correspondants de s, cette der 
nière série sera convergente. 
En effet, si l’on prend n assez grand pour que l’on ait 
ives s /n 
mime N, 
ité aussi 
Vn-1-1 • • • ■+" V/i+p 
quel que soit p, on aura, a fortiori, 
que soit 
elle que 
H - . • . ~T~ £> 
Si Von suppose, au contraire : i° que la série S soit di 
vergente; 2 0 qu’à partir d’un certain rang ses termes 
e, deux 
féreront 
soient moindres que ceux de s, cette dernière série sera, 
divergente. Car on pourra déterminer, quel que soit n, un 
nombre p tel que l’on ait 
f/M-l H - • • • H” V li-hp ^- > 
, s, t , ... 
et, a fortiori, 
Mn+i ”t~ ■ • - i ^a-hp £ *