DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
I I I 
indice. 
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. . des 
assez 
5oit K 
a aura 
, dans 
5 sera 
d’où 
mod (K — s n t„) 
< U.V fi -r Ua'Vg' + • • • 
< ( U ! + U 2 +. ■ + U ll+ p ) ( V , l+ i 4- • .. h- \ n+/) ) 
+ (U«+i ■+■ • • + U^p) (Vt 4-. .. 4- V») 
<S(Y„ +1 \ a+p ) -h T (U„ +1 4-. .. +U w+ p). 
Gelaposé, faisons croître n indéfiniment; U w+ -t-U w+/> 
et V //+ i + . . . + V /i+p tendront vers zéro, quel que soitp ; on 
aura donc 
mod (K — s a t n ) < e, 
s étant aussi petit que l’on voudra. Donc K se rapprochera 
indéfiniment du produit s n t n , qui lui-même aura pour li 
mite st. 
123. Définition. — Si la série 
s — Uy-\- u % n- . . . 
est convergente, mais la série des modules 
S = U t h- U 2 -h... 
divergente, on dira que la série s est semi-convergente. 
Comme exemple de ces séries, on peut citer la suivante : 
1,1.1 
JNous avons vu, en effet, que la série des modules 
S=.i 
i.i.i 
est divergente. 
D’autre part, s est convergente. On a, en effet, 
u n+i H - u nA -2 4- • 
i - /f n+p 
I I 
«4-2 ‘ «4-3 
La somme entre parenthèses est positive, cardiaque terme 
négatif y est précédé d’un terme positif plus grand que lui. 
grand