DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Xl3 
e terme 
atif plus 
en 
nanière la 
alivement 
en valeur 
é de va- 
n chan- 
le même, 
Supposons, pour fixer les idées, que A, -j- A 2 H- • • • ait 
une somme infinie. 
Considérons la série 
C7 ciy + Ci2 H— .... 
Lile sera convergente, car elle est formée par les parties 
réelles des termes de la série s, laquelle est convergente, par 
hypothèse. 
Donc les termes de la série c décroissent indéfiniment 
quand u augmente. D’ailleurs, la somme 
A t + A2 
de ces termes, pris positivement, est infinie. Donc cr contient 
des termes positifs 
c, Ci, ... 
et des termes négatifs 
d, r/j, .... 
Chacune des deux sommes c + c K . . . et d -f- d K . . . 
sera infinie, et si a- a une somme finie, cela tient aux sous 
tractions qui s’opèrent. 
Cela posé, il est aisé de voir qu’en altérant l’ordre des 
termes de cr on pourra lui faire avoir pour somme un nombre 
quelconque M. 
Prenons, en effet, dans la suite positive c + c t +. . . le 
nombre de termes nécessaire pour que leur somme surpasse M; 
puis, dans la suite négative d, d K , . . . assez de termes pour 
ramener la somme au-dessous de M, puis dans la somme po 
sitive assez de termes pour ramener la somme au-dessus de M, 
et ainsi de suite. 
La somme obtenue oscillera ainsi autour de M, dont elle se 
rapprochera d’ailleurs indéfiniment, car sa différence avec M 
ne surpasse pas le dernier terme employé pour changer son 
signe, et l’on a vu que ces termes décroissent indéfiniment 
lorsque leur rang augmente. 
Cela posé, effectuons sur la série s les mêmes changements 
dans l’ordre des termes que dans la série a-; on trouvera pour 
.1. — Cours, I. 8