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PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III. 
ou, ce qui revient au même, 
limlogpj. . . p n = lim (logPi -h. . . + logp„) = — oo . 
Ce cas se reconnaîtra donc à ce caractère que la série 
logp, -h. . • -h logp„ + . . . 
est divergente et a pour limite — co . 
134. Pour que le second cas se présente, il sera évidem 
ment nécessaire et suffisant que les deux expressions 
logp,. . .p„ et «, —... —a n 
tendent toutes deux vers des limites déterminées, autrement 
dit que les séries 
(I) 
logpi-K ■ • 
+ logp /l + 
et 
(2) 
a . H- . . . 
soient toutes deux convergentes. 
Au lieu de la série (i), il sera, en général, plus commode 
de considérer celle-ci 
(3) logPi + ... -h l°g p, 2 j + ..., 
qui s’obtient en doublant tous ses termes. 
Si les séries (2) et (3) sont absolument convergentes, il 
en sera de même du produit II, dont la valeur sera évidem 
ment indépendante de l’ordre des facteurs. Il dépendra au 
contraire de cet ordre et sera semi-convergent si les séries (2) 
et (3) sont elles-mêmes semi-convergentes. 
Si les quantités u { , ..., u n , ... dépendent d’une variable z, 
le produit sera uniformément convergent ou non en même 
temps que les deux séries. 
Une condition nécessaire, sinon suffisante, pour la conver 
gence des séries (2) et (3), est que leurs termes tendent vers 
zéro pour n infini. Il faudra pour cela que tende vers 
l’unité et a„ vers zéro.