DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 
I2 7 
ic amené 
pendante 
5 des va- 
ondantes 
fonctions 
culer, si- 
que l’on 
que, que 
lante dé- 
> entières 
cercle de 
fonction 
i corros 
ion dans 
+ bi par 
1 z, cosz, 
de diffi- 
îs valeurs 
pressions 
1 sens. Il 
tendra de 
les de ces 
ariable x, 
représen- 
On se trouve donc naturellement conduit à prendre ces séries 
pour définition de nos fonctions, que 5 soit réel ou imaginaire. 
En vertu de ces définitions, on aura immédiatement 
iz z^ i n z n 
(4) ~1 + •— F • • • H— -\- • • • cos z i sin z, 
■ I 1.2 1.2.. .n 
tKS ... iz Z 2 (— i) n z n 
(5) —1 1 -\ 1 = cos^—1 sin 
' I 1.2 I .2. . . n 
et, par suite, 
_1— (? 
(6) cosz — -—— 5 
p lz P lz 
(7) sin ~ = 
Ces formules fondamentales, établies par Euler, réduisent 
les fonctions trigonométriques aux exponentielles, et réci 
proquement. 
140. Il est aisé d’établir que les propriétés essentielles de 
ces fonctions, démontrées pour les valeurs réelles de la va 
riable, subsistent pour les valeurs imaginaires. 
En effet, prenons les dérivées des séries (1), (2), (3); il 
viendra immédiatement 
[e z )'— 1 -t- 
(sin z)'— 1 — 
1.2 1.2.3.4 
(cosz) r =— z H — 
1.2.3 
1.2 . . . ( n — I ) 
] 7 + • • • = cos^, 
D'autre part, formons le produit e a e h . En groupant en 
semble les termes de même degré, il viendra 
(8) 
e l e’=i-\- 
- + 
h 
a*-* h* 
1.2...« 
a -+- h 
1.2...(« — i).i ‘ 1.2...(« — 2).1.2 
( a -t- h ) " , 
+ ■ 
1 
1.2... «